线性拟合不单独调整 b 形成 a

Question

我正在使用以下 gnuplot 脚本来绘制线性拟合：

#!/usr/bin/gnuplot
set term cairolatex
set output "linear_fit.tex"
c = 299792458.
x(x) = c / x
y(x) = x
h(x) = a * x + b
fit h(x) "linear_fit.dat" u (x($1)):(y($2)) via a,b
plot "linear_fit.dat" u (x($1)):(y($2)) w points title "", \
    (h(x)) with lines linecolor rgb "black" title "Linear Fit"

但是，在迭代收敛后，b 始终为 1.0：https://dpaste.de/ozReq/

如何让 gnuplot 调整 b 和 a？

更新： 重复 fit 命令几百次并交替使用 via a/via b 确实会产生很好的结果，但这不可能是应该的。

更新2：这是linear_fit.dat中的数据：

# lambda, V
360e-9 1.119
360e-9 1.148
360e-9 1.145
400e-9 0.949
400e-9 0.993
400e-9 0.971
440e-9 0.883
440e-9 0.875
440e-9 0.863
490e-9 0.737
490e-9 0.728
490e-9 0.755
540e-9 0.575
540e-9 0.571
540e-9 0.592
590e-9 0.457
590e-9 0.455
590e-9 0.482

Answer 1

我认为您的麻烦源于您的x-值非常大（大约为10e14）。

如果您没有为 gnuplot 提供 a 和 b 的初始猜测，它将假定 a=1 和 b=1 作为拟合的起点。然而，这是一个糟糕的初步猜测：

请注意x- 和y- 轴上的对数刻度。
来自gnuplot documentation：

如果从一个解开始时拟合可能并且经常会“丢失”，其中 SSR 很大并且随着参数的变化而缓慢变化，或者它可能会到达数值不稳定的区域（例如，太大的数字导致浮点溢出）导致“未定义值”消息或 gnuplot 停止。

为了提高找到全局最优值的机会，您应该将起始值至少大致设置在解的附近，例如，如果可能的话，在一个数量级内。您的起始值越接近解决方案，停止在另一个最小值的机会就越小。找到起始值的一种方法是将数据和拟合函数绘制在同一张图上，然后更改参数值并重新绘制，直到达到合理的相似性。相同的图也可用于检查拟合是否因拟合不佳而至少停止。

在你的情况下，这样的起始值可能是：

a = 1e-15
b = -0.5

我通过目测your range of values获得了这些值。
有了这些起始值，线性拟合的结果是：

Final set of parameters            Asymptotic Standard Error
=======================            ==========================

a               = 1.97355e-015     +/- 6.237e-017   (3.161%)
b               = -0.5             +/- 0.04153      (8.306%)

看起来像这样：

您可以使用fit 的控制设置（例如设置FIT_LIMIT = 1.e-35）或起始值来实现比这更好的拟合。

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编辑

虽然我仍然无法诱使 gnuplot 同时修改 a、b 两个参数，但我找到了使用 R 的替代方法。我知道还有许多其他（脚本）语言可以可以执行线性拟合，这个问题是关于 gnuplot 的。但是，使用 R 所需的工作似乎很少。
这是一个示例，当保存为 linear_fit.R 并使用

调用时

R CMD BATCH linear_fit.R 

将提供 gnuplot 未能提供的两个线性拟合系数。

y <- c(1.119, 1.148, 1.145, 0.949, 0.993, 0.971, 0.883, 0.875, 0.863, 
       0.737, 0.728, 0.755, 0.575, 0.571, 0.592, 0.457, 0.455, 0.482)
x <- c(3.60E-007, 3.60E-007, 3.60E-007, 4.00E-007, 4.00E-007, 
       4.00E-007, 4.40E-007, 4.40E-007, 4.40E-007, 4.90E-007, 
       4.90E-007, 4.90E-007, 5.40E-007, 5.40E-007, 5.40E-007, 
       5.90E-007, 5.90E-007, 5.90E-007)
c = 299792458.
x <- c/x
lm.out <- lm(y ~ x)
svg("linear_fit.svg")
plot(x,y) 
abline(lm.out,col="red")
summary(lm.out)

您最终会得到一个包含绘图的svg 文件和一个linear_fit.Rout 文本文件。在那里你会发现以下系数：

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -5.429e-01  4.012e-02  -13.53 3.55e-10 ***
x            2.037e-15  6.026e-17   33.80 2.61e-16 ***

因此，在原始问题的术语中，我们得到：

a =  2.037e-15
b = -5.429e-01

这些值与您在交替拟合时引用的值非常接近。

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如果 cmets 被清除，这些问题被确定为相关：

What is gnuplot's internal representation of floating point numbers?

Gnuplot behaves oddly in polynomial fit. Why is that?