线性方程的错误解，或者为什么 A*(A\B) 不等于 B？

Question

下面A*(A\D)的结果怎么可能不等于D？

它应该产生 D - 这是 Octave 文档的摘录：

线性方程组在数值分析中无处不在。到 求解线性方程组 Ax = b，使用左除法 运算符，'\'：x = A \ b

下面是代码供想尝试的人使用：

A = [1,1,1;0,0,0;2,1,2;2,1,2;3,5,6]
D = [1;2;3;4;5]
% A is of rank 3:
rank(A)
% therefore the system Ax=D has a unique solution
x = A\D
% but Octave has not given the good solution:
A*x

有人说我用 Matlab 得出的结果完全相同。

编辑 2012 年 10 月 10 日： 阅读完答案后，让我指出我犯了一个严重错误的地方：声明 “A 排名第 3，因此系统 Ax=D有一个独特的解决方案” 是绝对错误的！顺便说一句，上面显示的文档非常令人不安。

Answer 1

A 有 5 行，D 也是如此。它们都有 3 列。因此，您有一个包含 3 个变量的 5 个方程的超定系统。在大多数情况下，这意味着您无法准确求解方程，因为您有太多约束。

一旦你这样做了

x = A\D;

你得到最小二乘解。

 0.8333
-1.5000
 1.6667

这个解决方案是什么？这是一种最小化误差平方和的解决方案。让我们计算一下误差：

  r = A*x-D;
  totalError = sum( r.^2);

这意味着您将无法找到任何x，因此sum(sqr(A*x-D)) 的错误更小。

小备注：在您的情况下，您还有一行零 - 这导致实际的方程数变为 4

我们再来看看A*(A\D)：

>> A* (A\D)

ans =

    1.0000
         0
    3.5000
    3.5000
    5.0000

看起来很眼熟！非常接近 [1;2;3;4;5]。第一行和最后一行是相同的。第二个是零，因为你放了一行零。在第 3 行和第 4 行中，A 中的行完全相同，但 B 中的值不同，对应于

2*x+ 1*y + 2*z  = 3;
2*x+ 1*y + 2*z  = 4;

你已经得到了他们的平均水平！这是有道理的，因为平均值是将距离总和最小化为 3 和 4 的值。

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这是一个更简单的例子，假设你想求解以下方程组：

   x = 1;
   x = 2;

显然，x 不能同时是 1 和 2。最小化误差平方和的解决方案是1.5

   A = [1;1];
   b = [1;2];
   A\b
   ans =
    1.5000

Answer 2

您的系统A 是超定的（A 是矩形），因此您是do not solve your system exactly：

矩形矩阵 如果 A 是矩形，则 mldivide 返回最小二乘解。 MATLAB 使用 QR 分解解决超定系统（请参阅 qr）。对于欠定系统，MATLAB 返回具有最大数量的零元素的解。