Python 中的数值 ODE 求解

Question

如何在 Python 中对 ODE 进行数值求解？

考虑

\ddot{u}(\phi) = -u + \sqrt{u}

满足以下条件

u(0) = 1.49907

和

\dot{u}(0) = 0

有约束

0 <= \phi <= 7\pi.

最后，我想生成一个参数图，其中 x 和 y 坐标是作为 u 的函数生成的。

问题是，我需要运行 odeint 两次，因为这是一个二阶微分方程。 我尝试在第一次之后再次运行它，但它返回雅可比错误。一定有办法一次运行两次。

这是错误：

odepack.error: 函数及其 Jacobian 必须是可调用函数

下面的代码生成。有问题的行是 sol = odeint。

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import linspace


def f(u, t):
    return -u + np.sqrt(u)


times = linspace(0.0001, 7 * np.pi, 1000)
y0 = 1.49907
yprime0 = 0
yvals = odeint(f, yprime0, times)

sol = odeint(yvals, y0, times)

x = 1 / sol * np.cos(times)
y = 1 / sol * np.sin(times)

plot(x,y)

plt.show()

编辑

我正在尝试构建第 9 页的情节

Classical Mechanics Taylor

这是 Mathematica 的情节

In[27]:= sol = 
 NDSolve[{y''[t] == -y[t] + Sqrt[y[t]], y[0] == 1/.66707928, 
   y'[0] == 0}, y, {t, 0, 10*\[Pi]}];

In[28]:= ysol = y[t] /. sol[[1]];

In[30]:= ParametricPlot[{1/ysol*Cos[t], 1/ysol*Sin[t]}, {t, 0, 
  7 \[Pi]}, PlotRange -> {{-2, 2}, {-2.5, 2.5}}]

Answer 1

import scipy.integrate as integrate
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

pi = np.pi
sqrt = np.sqrt
cos = np.cos
sin = np.sin

def deriv_z(z, phi):
    u, udot = z
    return [udot, -u + sqrt(u)]

phi = np.linspace(0, 7.0*pi, 2000)
zinit = [1.49907, 0]
z = integrate.odeint(deriv_z, zinit, phi)
u, udot = z.T
# plt.plot(phi, u)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(1/u*cos(phi), 1/u*sin(phi))
ax.set_aspect('equal')
plt.grid(True)
plt.show()

Answer 2

来自您其他question 的代码非常接近您想要的。需要进行两项更改：

• 您正在求解不同的 ODE（因为您更改了函数 deriv 内的两个符号）
• 所需绘图的y 分量来自解值，而不是解的一阶导数的值，因此您需要将u[:,0]（函数值）替换为u[:, 1]（导数）。

这是最终结果：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

def deriv(u, t):
    return np.array([u[1], -u[0] + np.sqrt(u[0])])

time = np.arange(0.01, 7 * np.pi, 0.0001)
uinit = np.array([1.49907, 0])
u = odeint(deriv, uinit, time)

x = 1 / u[:, 0] * np.cos(time)
y = 1 / u[:, 0] * np.sin(time)

plt.plot(x, y)
plt.show()

但是，我建议您使用 unutbu 答案中的代码，因为它是自我记录的 (u, udot = z) 并使用 np.linspace 而不是 np.arange。然后，运行它以获得您想要的数字：

x = 1 / u * np.cos(phi)
y = 1 / u * np.sin(phi)
plt.plot(x, y)
plt.show()

Answer 3

您可以使用 scipy.integrate.ode。要解决 dy/dt = f(t,y)，初始条件 y(t0)=y0，在 time=t1 和 4 阶 Runge-Kutta 时，您可以执行以下操作：

from scipy.integrate import ode
solver = ode(f).set_integrator('dopri5')
solver.set_initial_value(y0, t0)
dt = 0.1
while t < t1:
    y = solver.integrate(t+dt)
    t += dt

编辑：您必须得到一阶导数才能使用数值积分。这可以通过设置来实现，例如z1=u 和 z2=du/dt，之后有 dz1/dt = z2 和 dz2/dt = d^2u/dt^2。将这些代入您的原始方程，然后简单地迭代向量 dZ/dt，这是一阶的。

编辑 2：这是整个事情的示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from numpy import sqrt, pi, sin, cos
from scipy.integrate import ode

# use z = [z1, z2] = [u, u']
# and then f = z' = [u', u''] = [z2, -z1+sqrt(z1)]
def f(phi, z):
    return [z[1], -z[0]+sqrt(z[0])]


# initialize the 4th order Runge-Kutta solver
solver = ode(f).set_integrator('dopri5')

# initial value
z0 = [1.49907, 0.]
solver.set_initial_value(z0)

values = 1000
phi = np.linspace(0.0001, 7.*pi, values)
u = np.zeros(values)

for ii in range(values):
    u[ii] = solver.integrate(phi[ii])[0] #z[0]=u

x = 1. / u * cos(phi)
y = 1. / u * sin(phi)

plt.figure()
plt.plot(x,y)
plt.grid()
plt.show()

Answer 4

scipy.integrate() 进行 ODE 集成。这就是你要找的吗？