Matlab - 用约束参数拟合曲线

Question

对于 (x,y) 数据集，让由 a、b、c... 等（例如 f='a*exp(b*x)+c'）中的表达式给出的曲线进行拟合作为cfit=fit(x,y,f)。

假设我们有一组约束，例如b>0、c+b>a/2。在这种情况下我应该如何使用fit 命令？

Answer 1

虽然您可以设置下限来强制执行b>0，但我认为通过fit() 正确执行c+b>a/2 是不可能的。但最终每一个拟合问题也可以看成是一个“最小化曲线到数据的距离”的问题，所以可以使用fmincon()来实现你的目标：

%some sample x values
xdata = rand(1000,1);
%some parameters a,b,c
a = 2;
b = 3;
c = 4;
%resulting y values + some noise
ydata=a*exp(b*xdata)+c+rand(1000,1)*10-5;
plot(xdata,ydata,'o')

%function to minimize. It returns the sum of squared distances between the polynom and the data.
fun = @(coefs) sum((coefs(1)*exp(coefs(2).*xdata)+coefs(3)-ydata).^2);
%nonlinear constaint to enforce c+b>a/2, which is the same as -(c+b-a/2)<0
nonlcon = @(coefs)deal(-(coefs(3)+coefs(2)-coefs(1)/2), 0);
% lower bounds to enforce b>0
lb = [-inf 0 -inf];
%starting values
x0 = [1 1 1];
%finally find the coefficients (which should approximately be the values of a, b and c)
coefs = fmincon(fun,x0,[],[],[],[],lb,[],nonlcon)

Answer 2

对于只是数值的约束，例如b > 0，您可以使用'Lower' 和'Upper' 边界参数来指定它们。对于更复杂的关系，例如c+b>a/2，您必须采用类似James suggests 的方法，将函数输出设置为像flintmax 这样的高值以产生较大的错误。例如，假设我这样定义我的函数：

function y = my_fcn(a, b, c, x)
  if (c+b > a/2)
    y = a.*exp(b.*x)+c;
  else
    y = flintmax().*ones(size(x));
  end
end

我可以如下创建一组嘈杂的测试数据：

a = 4;
b = 2;
c = 1;
x = (0:0.01:2).';
y = my_fcn(a, b, c, x) + 40.*(rand(size(x))-0.5);

然后拟合曲线（注意您必须使用anonymous function，因为function handle 由于某种原因无法使用）：

params = fit(x, y, @(a, b, c, x) my_fcn(a, b, c, x), ...
             'StartPoint', [1 1 1], ...  % Starting guesses for [a b c]
             'Lower', [-Inf 0 -Inf]);    % Set bound for 'b'

params = 

     General model:
     params(x) = my_fcn(a,b,c,x)
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       a =       4.297  (2.985, 5.609)
       b =       1.958  (1.802, 2.113)
       c =      0.1908  (-4.061, 4.442)

请注意，拟合值与原始值接近，但由于存在噪声，并不完全匹配。我们可以像这样可视化拟合：

plot(x, y);
hold on;
plot(x, my_fcn(params.a, params.b, params.c, x), 'r');

Answer 3

一种简单的方法是让拟合函数返回一个非常大的值，如果参数值超出约束条件，则会产生非常大的误差。这种“砖墙”方法不是最优的，当拟合的参数值接近边界条件时会产生问题。值得一试，因为它可以快速实施并且可以在简单的情况下工作。注意从边界限制内的初始参数值开始。