如何创建包含（人工生成的）高斯（正态）分布的向量？

Question

如果我有数据（每日股票图表是一个很好的例子，但它可以是任何东西），其中我只知道 X 单位销售的范围（高 - 低），但我不知道确切的价格出售的任何给定物品。为简单起见，假设价格范围包含足够的桶（例如，40 美分范围内的 41 美分增量）以使这种分布可行。如何分配这些项目以形成存储在向量中的正常钟形曲线？它不必是完美的，而是现实的。

我（非常）天真的想法是假设由于随机数应该形成正态分布，我可以做一些像二进制 RNG 这样的事情。例如，如果有 40 个存储桶，那么如果 '0' 出现 40 次，则第 0 个存储桶会递增，如果连续出现 '1' 次，则第 39 个存储桶会递增。如果“1”出现 20 次，则它位于向量的中间。对每个项目执行此操作，直到计算完 X 个单位。这可能是正确的，也可能不是正确的，并且在任何情况下似乎都比必要的效率低得多。我正在寻找更明智的东西。

这不是作业，只是一直困扰着我的一个问题，我的统计数据达不到标准。大多数文献似乎都在分析已经存在的分布，而不是关于如何人为地创建分布。

我想用 C++ 写这个，所以用 R 或 matlab 或其他东西预先打包的解决方案对我来说不是太有用。

谢谢。我希望这是有道理的。

Answer 1

大多数文献似乎都是关于分析已经存在的分布，而不是关于如何人为地创建分布。

有大量关于如何创建的文献。 Box-Muller 变换、Marsaglia 极坐标法（Box-Muller 的一种变体）和 Ziggurat 算法是三个。 （谷歌这些条款）。两种 Box-Muller 方法都易于实现。

更好的是，只需使用已经存在的随机生成器来实现这些算法之一。 boost 和新的 C++11 都有这样的包。

Answer 2

您描述的算法依赖于中心极限定理，该定理说定义为属于 相同 分布的n 随机变量之和的随机变量在以下情况下趋于接近正态分布n 增长到无穷大。来自计算机 PRNG 的均匀分布的伪随机变量构成了这个一般定理的一个特例。

要获得更有效的算法，您可以将概率密度函数视为某种空间扭曲，它在中间扩展实轴并将其收缩到末端。

令 F: R -> [0:1] 是正态分布的累积函数，invF 是它的逆函数，x 是均匀分布在 [0:1] 上的随机变量，那么 invF(x) 将是一个正态分布分布随机变量。

实现这一点只需能够计算 invF(x)。不幸的是，这个函数不能用初等函数来表达。实际上，它是非线性微分方程的解。但是，您可以使用牛顿法有效地求解方程 x = F(y)。

我所描述的是逆变换方法的简化表示。这是一种非常通用的方法。有更有效的从正态分布采样的专门算法。 David Hammen 的回答中提到了这些。