一个数的最大除数和质因数的关系

Question

问题如下： 给定两个数 n 和 k。对于区间 [1, n] 中的每个数字，您的任务是计算其不能被 k 整除的最大除数。打印所有这些除数的总和。 注意：k 总是一个素数。 t=3*10^5,1

我对这个问题的看法： 对于 1 到 n 范围内的每个 i，所需的除数是 i 本身，仅当 i 不是 k 的倍数时。 如果 i 是 k 的倍数，那么我们必须找到一个数的最大除数并与 k 匹配。如果不匹配，那么这个除数就是我的答案。否则，第二大除数就是我的答案。

例如，取 n=10 和 k=2，1 到 10 范围内的每个 i 所需的除数为 1, 1, 3, 1, 5, 3, 7, 1, 9, 5。这些除数的和是 36。所以 ans=36。

我的代码适用于一些测试用例，但在一些测试用例中失败了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long int

ll div2(ll n, ll k) {
if (n % k != 0 || n == 1) {
    return n;
}

else {
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            ll aa = n / i;
            if (aa % k != 0) {
                return aa;
            }
        }
    }
}
return 1;
}



int main() {
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
int t;
cin >> t;

while (t--) {
    ll n, k;
    cin >> n >> k;
    ll sum = 0, pp;

    for (pp = 1; pp <= n; pp++) {
        //cout << div2(pp, k);
        sum = sum + div2(pp, k);
    }
    cout << sum << '\n';
 }

 }

在我做错的地方有人可以帮助我，或者建议我一些更快的逻辑来做这个问题，因为我的一些测试用例显示 TIME LIMIT EXCEED

查看所有可能的解释后，我将代码修改如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long int

int main() {
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
int t;
cin >> t;

while (t--) {
    ll n, i;
    ll k, sum;
    cin >> n >> k;

    sum = (n * (n + 1)) / 2;

    for (i = k; i <= n; i = i + k) {
        ll dmax = i / k;

        while (dmax % k == 0) {
            dmax = dmax / k;
        }
        sum = (sum - i) + dmax;

    }
    cout << sum << '\n';

}

}

但它仍然为 3 个测试用例提供 TIME LIMIT EXCEED。有人请帮忙。

Answer 1

这本身就是一个数学问题： 如果 cur = [1..n]，正如您已经注意到的，最大除数 = dmax = cur 是，如果 cur % k != 0，否则 dmax 必须

所以这应该看起来像这样（不保证只是输入 - 也许我错过了一些想法）：

#include <iostream>

int main() {
    unsigned long long n = 10;
    unsigned long long k = 2;

    for (auto cur_n = decltype(n){1}; cur_n <= n; cur_n++)
    {
        if (cur_n % k != 0) {
            std::cout << "Largest divisor for " << cur_n << ": " << cur_n << " (SELF)" << std::endl;
        } else {
            unsigned long long dmax= cur_n/k;

            while (dmax%k == 0)
                dmax= dmax/k;
            std::cout << "Largest divisor for " << cur_n << ": " << dmax<< std::endl;
        }
    }
}

Answer 2

就像其他人已经说过的那样，看看约束：t=3*10^5,1<=n<=10^9, 2<=k<=10^9。

如果您的测试具有复杂性O(n)（通过循环计算总和），您最终将执行t * n ~ 10^14。太多了。

这个挑战是数学挑战。您需要使用两个事实：

• 如您所见，如果i = j * k^s 与j%k != 0，最大除数为j；
• sum_{i=1}^t i = (t * (t+1)) / 2

我们开始

S = sum(range(1, n)) = n * (n+1) / 2

那么对于k * x 形式的所有数字，我们添加了太多，让我们更正一下：

S = S - sum(k*x for x in range(1, n/k)) + sum(x for x in range(1, n/k))
  = S - (k - 1) * (n/k) * (n/k + 1) / 2

继续输入k^2 * x ...然后k^p * x，直到总和为空...

好的，人们开始写代码了，下面是一个 Python 小函数：

def so61867604(n, k):
    S = (n * (n+1)) // 2
    k_pow = k
    while k_pow <= n:
        up = n // k_pow
        S = S - (k - 1) * (up * (up + 1)) // 2
        k_pow *= k
    return S

在这里https://repl.it/repls/OlivedrabKeyProjections

Answer 3

我想知道这样的事情是不是 One Lyner 的意思。

（注意，这段代码有两个错误，在cmets中有描述，也可以通过One Lyner的新代码来说明。）

C++ 代码：

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long int

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    int t;
    cin >> t;

    while (t--) {
        ll n;
        ll k, _k, result;
        vector<ll> powers;
        cin >> n >> k;

        result = n * (n + 1) / 2;
        _k = k;

        while (_k <= n) {
            powers.push_back(_k);
            _k = _k * k;
        }

        for (ll p : powers) {
            ll num_js = n / p;
            result -= num_js * (num_js + 1) / 2 * (p - 1);
            int i = 0;
            while (p * powers[i] <= n) {
                result += powers[i] * (p - 1);
                i = i + 1;
            }
        }

        cout << result << '\n';
    }
}