我不明白如何计算以下 c++ 代码的时间复杂度？答案

【问题标题】：I can't understand how the time complexity of following c++ code is calculated?我不明白如何计算以下 c++ 代码的时间复杂度？
【发布时间】：2021-11-12 19:41:23
【问题描述】：

以下代码使用 C++ STL 集打印两个未排序数组的并集。
我知道在集合中插入元素的时间复杂度是 O(log N)，其中 N 是集合的大小。
此代码来自https://www.geeksforgeeks.org/find-union-and-intersection-of-two-unsorted-arrays/。

// C++ program for the union of two arrays using Set
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void getUnion(int a[], int n, int b[], int m)
{
 
    // Defining set container s
    set<int> s;

    // Inserting array elements in s
    for (int i = 0; i < n; i++)
      s.insert(a[i]);

    for (int i = 0; i < m; i++)
      s.insert(b[i]);
    cout << "Number of elements after union operation: " << s.size() << endl;
    cout << "The union set of both arrays is :" << endl;
    for (auto itr = s.begin(); itr != s.end(); itr++)
        cout << *itr
             << " "; // s will contain only distinct
                 // elements from array a and b
}

// Driver Code
int main()
{
    int a[9] = { 1, 2, 5, 6, 2, 3, 5, 7, 3 };
    int b[10] = { 2, 4, 5, 6, 8, 9, 4, 6, 5, 4 };

    getUnion(a, 9, b, 10);
}

时间复杂度：O(m * log(m) + n * log(n))。
请解释一下上述时间复杂度是如何计算的。

【问题讨论】：

标签： c++ data-structures stl set

【解决方案1】：

在集合中插入一个新元素是对数时间（在你的情况下是 O(log n) 和 O(log m) ），所以总时间复杂度是 O(m * log(m) + n * log(n)) 。

这里是a link，你可以参考。

【讨论】：

【解决方案2】：

在 C++ 中，set 在内部使用自平衡二叉搜索树 (BST) 实现。这意味着每次将新元素插入set 时，它必须在内部检查该新元素在 BST 中的正确插入位置，然后重新平衡该 BST。插入新元素并执行 BST 重新平衡的操作大约需要 O(log(n)) 时间，其中 n 是 BST 中的元素数量。

下面的代码sn-p运行n次，每个insert操作在最坏情况下的时间复杂度为O(log(n))，因此下面这段代码的时间复杂度为O(n * log(n))。

    for (int i = 0; i < n; i++)
      s.insert(a[i]);

现在，上面的代码 sn-p 执行后，在最坏的情况下，集合将有n 元素（如果int a[] 中的所有n 元素都是唯一的）。

下面提供的下一个代码 sn-p 运行 m 次，并且每个 insert 操作在最坏的情况下具有 O(log(n + m)) 时间复杂性（因为在此之前的 set 中可能已经有 n 元素下面的循环开始），因此下面这段代码的时间复杂度是O(m * log(m + n))。

    for (int i = 0; i < m; i++)
      s.insert(b[i]);

下面的最后一个 for 循环在最坏的情况下运行所有n + m 元素（如果数组a[] 中的所有n 元素和数组b[] 中的所有m 元素都是唯一的）。因此，下面代码的时间复杂度为O(n + m)，因为下面的代码访问了内部BST中的所有n + m元素。

    for (auto itr = s.begin(); itr != s.end(); itr++)
        cout << *itr
             << " "; // s will contain only distinct
                 // elements from array a and b

以上 3 个代码 sn-ps 都是串行运行的（一个接一个），因此必须添加总时间复杂度才能找到最终的时间复杂度。

时间复杂度 = O(nlog(n) + mlog(m + n) + (m + n))

在上述所有 3 项中，nlog(n) 和 mlog(m + n) 项大于 (m + n)，因此我们可以省略 (m + n)，并将时间复杂度写为 O(nlog(n) + mlog(m + n))。