从列表中选择 N 个位置以最大化总和，具有最小距离约束答案

【问题标题】：Select N locations from list to maximize sum, with min distance constraint从列表中选择 N 个位置以最大化总和，具有最小距离约束
【发布时间】：2013-05-23 01:05:39
【问题描述】：

我想从 250 个地点中选择 5 个地点，以最大化预期利润，使每个地点之间的最小距离为 5 英里。给出了与每个位置和它们之间的距离相关的预期利润。

我试图找出这是否是一个标准问题。应用过滤器来获得解决方案似乎是计算密集型的。我一直在探索模拟退火等方法，以达到足够好的解决方案。

【问题讨论】：

这可能更适合programmers.stackexchange.com
要清楚一点，maximize expected profit such that minimum distance between each locality is 5 miles，你想要 5 个选定的地区，它们的利润总和在集合中最大化，并且这 5 个中任何两个地区之间的距离大于或等于5 英里？
这听起来一点计算成本都不算高，您肯定可以轻松地暴力破解“250 中最好的 5”。
我怀疑你甚至不得不暴力破解它。这实际上只是一个相对简单的对约束的最大子集问题（即 O(kn)）。 “贪心对”算法 O(kn^2) 可能非常接近最优。
一般来说，这是一个最大利润的打包问题，并且是 NP 难的。 Binomial[250, 5] 小于 8e9；这肯定不是太多的可能性。

标签： algorithm

【解决方案1】：

由于您使用的是大圆距离，因此有几种可能性可以提供一些质量保证：欧几里得图的近似方案和整数规划。前者在理论上更具可扩展性，但后者给出了精确的最优值，并且在假设求解器可用的情况下更容易实现。（当然，你总是可以做一些特别的事情。）因为你的位置太少了，这就是我要描述的那个。

我将通过将您的问题表述为整数程序来简要解释整数程序。

maximize profit1 * x1 + profit2 * x2 + ... + profit250 * x250
subject to
x1 + x2 + ... + x250 = 5  (select exactly 5 localities)
for every pair of localities {i, j} less than 5 miles from each other,
    xi + xj <= 1
x1, x2, ..., x250 in {0, 1}

变量xi的含义是如果localityi被选中则为1，如果localityi未被选中则为0。

您需要编写一个小子例程，以将该程序以其首选格式传达给您最喜欢的求解器。要查找求解器，请搜索“MIP 求解器”；有与多种语言绑定的免费和商业产品。尝试获得一个支持 clique 切割的工具（我知道商业 CPLEX 和免费的 GLPK 都可以）。如果没有，那没关系；你可以自己实现 Bron–Kerbosch 来生成表单的约束

xa + xb + ... + xz <= 1

a, b, ..., z 是彼此相距 5 英里以内的地点。

【讨论】：