此代码片段的时间复杂度答案

【问题标题】：Time Complexity Of This Code Snippet此代码片段的时间复杂度
【发布时间】：2015-03-19 22:20:59
【问题描述】：

最近碰到一个代码sn-p：

int i = 1;
while (N > 1)
{
        N = N / i;
        i = i + 1;
}

观察，很明显i 线性增加，i 在循环的每个运行时除以N，因此我们可以说N 作为一个反函数的函数减少一个阶乘。

我们如何用 theta 表示法来表示它，因为 inverse factorial 并不是为每个自然数 N 定义的？我们是否必须使用该函数的近似上限和下限就足够了？

【问题讨论】：

5 的反阶乘是多少？ @FreeNickname
对不起，我的错。我误解了你。出于某种原因，我想到了 1/n！是一个反阶乘。我现在将删除我的评论。
您也可以尝试在math 上提问。告诉他们你来自cs背景。我发现它们非常有帮助。（只是要明确一点：我不是说这是题外话）

标签： algorithm time-complexity big-theta

【解决方案1】：

好吧，我不确定，但我会试一试。阶乘本质上是gamma function。伽马函数不仅适用于自然数，也适用于实数。因此，理论上存在一个反伽马函数，它是为未定义阶乘的情况定义的（例如，我们不知道 5 的反阶乘，但我们知道，反伽马函数5 将是两点左右的东西）。根据MathOverflow的说法，反伽马函数没有精确的公式，但有近似解。

假设存在反伽马函数，我们将其写为InvGamma(N)。它是一个实数（可能是 R+，但我不确定，现在它并不重要，因为我们的 N 始终是正数，除了 N == 0 的情况，我现在将忽略它）。

当我们处理复杂性时，我们可以像使用其他返回实数的函数一样使用它：我们可以floor它（向下舍入）。就像我们处理log 复杂性一样。我以前用方括号写（即log(15) = 1.18、[log(15)] = 1）。

那么我相信你的 sn-p 的复杂度应该是O([InvGamma(N)])。

更新：（受@6502 的回答启发）：注意如果N 是一个整数（在代码sn-p 中没有提到），那么每一步都会进行舍入，它以一种复杂的方式改变了复杂性。上述解决方案适用于真正的Ns。

【讨论】：

伽马反函数实际上是令人信服的。谢谢。但是，唯一的缺点是它返回多个值。
@ShauryaChats，确实如此。解决方法是取最大的值。不幸的是，我不确定可以使用什么符号来正确执行此操作。我想，我会保持原样。在我看来，这意味着什么很清楚。并且，例如，sqrt 还返回多个值（一个正值和一个负值），它仍然像 O(sqrt(N)) 一样用于复杂性函数。

【解决方案2】：

阶乘对除负整数之外的所有复平面的“自然”扩展称为"gamma function" 和所有非负整数gamma(n) = (n-1)!。

因此，您可以反转 gamma 的一部分来计算所需的大致迭代次数，但我不确定这会导致迭代次数的 exact 计算，因为在该代码中有每一步都进行舍入操作。

【讨论】：

关于每一步的舍入操作的要点。我们不知道N 的类型。但我同意，它很可能是某种integer。
@FreeNickname 浮点运算也会导致舍入！
@Rerito，是的，确实如此，但在计算复杂度时通常会忽略浮点运算舍入，否则我们将无法计算一半算法的复杂度。