我正在阅读 Real-Time Rendering 一书中的广告牌部分，作者解释说，为了将四边形（即广告牌）旋转到某个方向，旋转矩阵将是
M = (r, u, n)
其中r、u、n 是计算（归一化）的方向向量。
我了解到，为了旋转东西，必须使用包含大量脏 sin() 和 cos() 计算的矩阵。这个M 矩阵怎么会使用纯方向向量？
【问题讨论】：
正弦和余弦仅在您想从角度表示转换为矢量表示时使用。但是我们先来分析一下是什么让矩阵成为旋转矩阵。
旋转矩阵是正交矩阵，行列式为 +1。这意味着它们的列向量具有单位长度并且它们彼此垂直。正交矩阵的一个很好的特性是您可以通过转置它们来反转它们。但这只是一个不错的功能。
如果我们有二维旋转矩阵
M = / cos a sin a \
\ -sin a cos a /
，我们看到确实如此。第一个列向量是(cos a, -sin a)。从勾股定理，我们得到这个向量有单位长度。此外，它垂直于第二列向量（它们的点积为零）。
到目前为止，一切都很好。这个矩阵是一个旋转矩阵。但是我们可以解释列向量吗？确实，我们可以。第一列向量是向量(1, 0)（即右向量）的图像。第二列向量是向量(0, 1)的图像（即向上向量）。
所以你看到使用正弦和余弦只是计算方向向量的另一种方法。这样做会自动确保它们具有单位长度并且它们彼此正交。但这只是一种方式。您还可以使用叉积或任何其他方案计算方向向量。关键是要满足旋转矩阵的性质。
【讨论】：
(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)的图像？
M*M^T=I 属性，其中^T 是转置矩阵，I 是单位矩阵。这些是（复杂）酉矩阵的特殊情况，其中M*M^+=I 其中^+ 表示矩阵的伴随（共轭转置）。正如 Nico 所说，正交矩阵的行列式是 +1 或 -1；前者是适当的旋转，后者是反射。
如果你的变换是带角度的，你需要那些肮脏的三角函数。但是，如果您知道笛卡尔单位向量的图像，则可以轻松构建矩阵。
如果[1; 0; 0]的图像是r，[0; 1; 0]是u，[0; 0; 1]是n，那么矩阵的效果就是
M * [1; 0; 0] == 1*r + 0*u +0*n == r
M * [0; 1; 0] == 0*r + 1*u +0*n == u
M * [0; 0; 1] == 0*r + 0*u +1*n == n
如果您的矩阵是M=[r u n]，这正是您需要的转换。
请注意，这通常会给你一个仿射变换，如果你的向量是正交的，它只会是一个刚性旋转。
【讨论】：
f(x) 是x 的图像，如果你的函数是f(x)=M*x，你的矩阵M 和列向量x。如果您熟悉如何将矩阵乘以行向量：对[1; 0; 0] 执行M 将返回M 的第一列，[0; 1; 0] 将给出M 的第二列，@987654340 @ 将给出M 的第三列。这就是我在上面试图解释的，抱歉没有成功。换句话说：矩阵的列告诉你它将笛卡尔单位向量转换成什么。