了解 32 位浮点数

Question

我正在努力更好地理解计算机中的浮点数。在阅读 32 位浮点数时，我发现一般来说，32 点浮点数的构造如下：

• 1 位用于正/负。
• 为尾数保留 23 位。这意味着我们可以有 2^23 个唯一尾数，有 7 个有效数字。
• 8 位为指数保留。我读到的内容是“2^8 数字的一半可用于正指数，而 2^8 可用于负指数”。我还读到指数可以从 10^-38 -> 10^38 变化。

我对此有几个问题..

• 我不明白为什么一半的指数位是正数，一半是负数。如果 8 位中的第一个用于指示正​​数或负数，就不能有更高的精度，就像浮点架构中的第一位一样。那么可能有 2^7 个正指数和 2^7 个负指数？
• 有了 2^7，10^38 是从哪里来的？它们大不相同。
• 如果尾数为 2^23，为什么有效数字限制为 7 个有效数字？这本书指出这是因为 2^23 与 10^7 相似，但它们似乎相距甚远，我不确定为什么会这样限制？

Answer 1

1 位用于正/负。

是的。

为尾数保留 23 位。这意味着我们可以有 2^23 个唯一尾数，有 7 个有效数字。

23 位用于包含有效数字的主要编码的字段。另一位通过指数字段编码。完整的数学有效数有 24 位。 （“有效数”是浮点表示的小数部分的首选术语。“尾数”是对数小数部分的旧术语。尾数是对数的；加上尾数会乘以所表示的数字。有效数是线性的; 加到有效数字上加到所代表的数字上。）

8 位为指数保留。

是的。

我读到的内容是“2^8 中的一半可用于正指数，而 2^8 可用于负指数”。

这是不正确的。停止使用该信息来源。

我还读到指数可以在 10^-38 -> 10^38 之间变化。

不，用这种格式表示的有限数的范围大约是-3.4•10³⁸到+3.4•10³⁸，最小的正数表示的正常数约为1.7•10^-38。这些只是碰巧通过格式获得的值。它们没有明确编码到其中。

我不明白为什么一半的指数位是正数，一半是负数。

指数字段以下列方式编码一个值。指数字段的八位被解释为无符号二进制整数，E。那么：

• 如果 E 为 255，则浮点数据表示无穷大或 NaN。 （详情如下）。
• 如果 E 为 0，则浮点数据表示零或 次正规数。
• 否则，减去偏差 127。字段值E表示指数e = E-127。

如果 8 位中的第一个用于指示正​​数或负数，就不能有更高的精度，就像浮点架构中的第一位一样。那么可能有2^7个正指数，2^7个负指数？

这个问题源于关于指数的错误前提。除 255 外，指数字段的所有值都用于表示特定数字。 255 确实放弃了代表更多数字的机会，以换取在 NaN 中包含一些信息（见下文）。

有了 2^7，10^38 是从哪里来的？这些是完全不同的。

由于 255 用于表示无穷大和 NaN，因此用于表示有限数的最大 E 为 254。其对应的 e 为 254−127 = 127。这用于作为两个的指数。 2¹²⁷ 约为 1.7•10³⁸。此外，有效数字可能表示接近 2 的值，因此表示的组合值可以大到大约 3.4•10³⁸。 “10^38”源于对细节的疏忽。

如果尾数为 2^23，为什么有效数字限制为 7 个有效数字？书上说是因为 2^23 和 10^7 差不多，但是好像相差很远，不知道为什么会这样限制？

二进制浮点格式不包含任何十进制数字。有些人“衡量”他们的精确度是“大约”他们保留了多少十进制数字。回想一下，IEEE-754 binary32 格式的实际有效位是 24 位。 2²⁴ ≈ 10^7.22，所以有人说24位有效数字代表“大约”7.22个十进制数字。但是，并不是所有的七位十进制数都可以转换为 binary32，然后再转换回十进制而不会丢失至少一位，所以这是一个不好的测量。误导人，不宜使用。

要解码 IEEE-754 二进制 32 数据，让 S 为符号位，E 为 8 个指数位为无符号整数，F 是 23 个主要有效位，作为无符号整数。令 s 为 (−1)^S，因此如果 S 为 0，则为 +1，如果S 是 1。

• 如果E为255，F为0，则数据表示+∞或-∞，s•∞。
• 如果 E 为 255 且 F 不为 0，则数据表示 NaN（非数字）。在许多实现中，如果 F 的高位为 0，则它是一个信令 NaN（在算术中使用时会产生异常，否则为安静的 NaN。F 的其余位 可用于其他目的，例如记录有关 NaN 起源的信息。
• 如果0 E s•2^E-127•(1 +F•2^-23）。这些是正常的数字。
• 如果E为0，则数据表示s•2¹⁻¹²⁷•(0+F •2^-23)。这些是次正规数（和零）。注意两个变化：2 的指数中的 E 被替换为 1，小数部分的前导位从 1 变为 0。