优化数组求和（子集问题）

Question

在我的程序最热门的部分（根据 gprof，90% 的时间），我需要将一个数组 A 与另一个 B 相加。两个数组的大小均为 2^n（n 为 18..24），并保存一个整数（为简单起见，实际上存储的元素是 mpz_t 或小的 int 数组）。求和规则：对于0..2^n-1中的每个i，设置B[i] = sum (A[j])，其中j为位向量，j & ~ i == 0（即任意j的第k位都可以'如果i 的第 k 位不是 1，则不设置为 1)。

我当前的代码（这是最内层循环的主体）在 2^(1.5 * n) 个总和的时间内执行此操作，因为我将为每个 i 迭代（平均）2^(n/2) 个元素A.

  int A[1<<n]; // have some data
  int B[1<<n]; // empty
  for (int i = 0; i < (1<<n); i++ ) {
    /* Iterate over subsets */
    for (int j = i; ; j=(j-1) & i ) {
      B[i] += A[j];  /* it is an `sum`, actually it can be a mpz_add here */
      if(j==0) break;
    }
  }

我之前提到过，几乎所有的总和都是从前面求和的值中重新计算出来的。我建议，可以有代码，在n* 2^n sums 的时间内做同样的任务。

我的第一个想法是B[i] = B[i_without_the_most_significant_bit] + A[j_new];其中 j_new 只是 j 在“1”状态下具有来自 i 的 most_significant 位。这将我的时间减半，但这还不够（实际问题规模仍然需要数小时和数天）：

  int A[1<<n];
  int B[1<<n];
  B[0] = A[0]; // the i==0 will not work with my idea and clz()
  for (int i = 1; i < (1<<n); i++ ) {
    int msb_of_i = 1<< ((sizeof(int)*8)-__builtin_clz(i)-1);
    int i_wo_msb = i & ~ msb;
    B[i] = B[i_wo_msb];
    /* Iterate over subsets */
    for (int j_new = i; ; j_new=(j_new-1) & i ) {
      B[i] += A[j_new];  
      if(j_new==msb) break; // stop, when we will try to unset msb
    }
  }

你能推荐更好的算法吗？

附加图像，i 和 j 的列表为每个 i 求和，n=4：

i  j`s summed
0  0
1  0 1
2  0 2
3  0 1 2 3
4  0 4
5  0 1 4 5
6  0 2 4 6
7  0 1 2 3 4 5 6 7
8  0                8
9  0 1              8 9
a  0 2              8 a
b  0 1 2 3          8 9 a b
c  0 4              8 c
d  0 1 4 5          8 9 c d
e  0 2 4 6          8 a c e
f  0 1 2 3 4 5 6 7  8 9 a b c d e f

注意图形的相似性

PS msb 魔法来自这里：Unset the most significant bit in a word (int32) [C]

Answer 1

分而治之？现在还没有到位。

void sums(int *a, int n, int *b) {
  if (n <= 0) {
    *b = *a;
    return;
  }
  int m = 1 << (n - 1);
  sums(a, n - 1, b);
  sums(a + m, n - 1, b + m);
  for (int i = 0; i < m; i++) {
    b[m + i] += b[i];
  }
}