除法期间浮点数的位会发生什么变化？

Question

我有一个家庭作业，要求我在 C 中使用按位运算将一个 32 位单精度浮点整数除以 2（也可以使用 if 语句和 for 循环）。浮点数的位表示为无符号整数，因此我们可以使用按位运算符修改它们。我的问题是我无法理解在除法过程中位到底发生了什么。我最初的计划只是将指数位右移 1，同时保持符号位和尾数位相同，但这没有奏效。例如，当我的函数被赋予由 0x800000 表示的位时，我的函数返回 0x00000000，因为右移指数会导致所有位为 0。但是，根据作业的测试驱动程序，这种情况下的正确答案是0x00400000。这真的让我很困惑，因为我不确定指数位如何或为什么会看似转移到尾数位。

unsigned divideFloatBy2(unsigned uf){
//copy the sign bit
unsigned signBit = (1 << 31) & uf;

//copy mantissa
unsigned mantissa = ~0;
mantissa >>= 9;
mantissa &= uf;

//copy exponent
unsigned mask = 0xFF;
mask <<= 23;
unsigned exponent = (uf & mask);
exponent >>= 23;

exponent >>= 1; //right shift to divide by 2;

exponent <<= 24;

//combine all again
unsigned ret = signBit | exponent | mantissa;
return ret; //will be interpreted as float later
}

此函数对某些输入（但不是全部）正常工作，例如上面给出的输入。请记住，我更多的是询问浮点数在除法期间会发生什么，而不是简单地询问代码以使其工作。

Answer 1

您有一个很好的见解，即通过 2 的幂缩放归一化的、基数为 2 的浮点数仅影响指数（假设您既没有上溢也没有下溢），但是您执行了错误的操作。将指数右移 1 相当于将其 - 指数 - 除以 2。结果与原始数字的平方根大小相同。这根本不是你想要的，除非原来的数字是 4 左右。

它可能会帮助你用二进制科学记数法写出一个例子，因为这与机器表示非常对应。那么，假设您的原始数字 N 是 1.01010x2¹¹⁰。

N / 2 = N * 2^-1 = 1.01010x2¹¹⁰ * 2^-1 = 1.01010x2^110-1 = 1.01010x2¹⁰¹

所以是的，尾数和符号不会改变，但对指数的影响只是将其减少 1。

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关于您的原始程序，请注意它实际上并没有正确实现您描述的方法。它将指数位向右移动 23 以将最低有效位带到单位位置，然后再向右移动一位以实现您的操作，但随后它向左移动 24 位。它应该只左移 23 位，反转原来的右移，将结果位带回正确的位置。

您实际执行的操作的效果是清除最低有效指数位，当偏置指数为奇数时，这恰好相当于减 1。这就是为什么它有一半的时间会产生正确的答案。

Answer 2

当 ... 给定 0x800000 时，我的函数返回 0 ....，正确答案 ... 是 0x00400000。

这是将最小 正常 float 值除以 2，在下面的 #3 中有详细说明。

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代码有很多问题。

1. 对于大多数有限数，递减而不是移动指数是正确的，正如 @John Bollinger 好的答案所指出的那样当指数大于 1 时。

2. 当exponent == 0 时，数字为sub-normal（或非正规），需要将其mantissa 字段右移（/2）。指数保持为 0。如果移出的位为 1，则除以 2 不准确。然后，根据四舍五入，mantissa 被调整 - 可能是通过添加 1。

3. 当exponent == 1时，结果将是次正常的，需要在mantissa字段中创建隐含的正常数字位并右移（/2）。如上所述，这种转变可能会导致四舍五入。指数变为 0。请注意，“舍入”mant 可能会超过 mant 的最大值 0x7FFFFF，然后需要对字段进行调整。

4. 当exponent == MAX (255) 时，数字不是有限的（它是无穷大或Not-a-Number），应该单独保留。

5. 1 << 31 之类的代码最好定义为：

   // unsigned signBit = (1 << 31) & uf;
   unsigned signBit = (1u << 31) & uf;   // Use an unsigned mask
   unsigned signBit = (1LU << 31) & uf;  // unsigned may be 16 bit.
   // or better yet
   unsigned signBit = uf & 0x80000000;
   

6. mantissa 派生的角落弱点在于它依赖于（非常常见的）2 的补码。便携式替代品：

   // unsigned mantissa = ~0;  Incorrect mask in `mantissa` when `int` is not 2's comp.
   // unsigned mantissa = -1;  correct all bits set.
   // mantissa >>= 9;
   // mantissa &= uf;
   // or simply use
   unsigned mantissa = 0x7FFFFF & uf;
   

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unsigned 可能是 16、32、64 位等。最好使用最小或精确宽度类型。

#define SIGN_MASK 0x80000000
#define EXPO_MASK 0x7F800000
#define MANT_MASK 0x007FFFFF

#define EXPO_SHIFT 23
#define EXPO_MAX         (EXPO_MASK >> EXPO_SHIFT)
#define MANT_IMPLIED_BIT (MANT_MASK + 1u)

uint32_t divideFloatBy2(uint32_t uf){
  unsigned sign = uf & SIGN_MASK;
  unsigned expo = uf & EXPO_MASK;
  unsigned mant = uf & MANT_MASK;

  expo >>= EXPO_SHIFT;
  // when the number is not an infinity nor NaN
  if (expo != EXPO_MAX) {
    if (expo > 1) {
      expo--;  // this is the usual case
    } else {
      if (expo == 1) {
        mant |= MANT_IMPLIED_BIT;
      }
      expo = 0;
      unsigned round_bit = mant & 1;
      mant /= 2;

      if (round_bit) {
        TBD_CODE_Handle_Rounding(round_mode, sign, &expo, &mant);
      }
    }
    expo <<= EXPO_SHIFT;
    uf = sign | expo | mant;
  }
  return uf;
}

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OP 后来评论了exponent ,sign 0, mantissa == 0x3, expected result is 0x2, but my returning 1.，所以舍入模式可能是FE_TONEAREST 或FE_UPWARD。

在expo <= 1 跟随时重写案例。它是经过测试的代码 - 经历了许多 2³² 组合和 4 种舍入模式。

请注意，当some_float/2.0f 计算时，它可能会影响浮点环境 状态位。我最初也是这样做的，但后来从这篇文章中删除了该代码 - 如果有兴趣，请联系。

    } else {
      if (expo == 1) {
        expo = 0;
        mant |= MANT_IMPLIED_BIT;
      }
      // Divided by 2 result inexact?
      if (mant % 2) {
        mant /= 2;
        // Determine how to round
        switch (fegetround()) {
          case FE_DOWNWARD:
            if (sign) mant++;
            break;
          case FE_TOWARDZERO:
            break;
          case FE_UPWARD:
            if (!sign) mant++;
            break;
          default: // When mode is not known, act like FE_TONEAREST
            // fall through
          case FE_TONEAREST:
            if (mant & 1) mant++;
            break;
        }
        if (mant >= MANT_IMPLIED_BIT) {
          mant = 0;
          expo++;
        }
      } else {
        mant /= 2;
      }
    }

有关舍入模式的详细信息，请搜索FE_... 宏或here。