有什么方法可以解决python中的耦合微分方程系统？答案

【问题标题】：Any way to solve a system of coupled differential equations in python?有什么方法可以解决python中的耦合微分方程系统？
【发布时间】：2013-05-30 08:58:01
【问题描述】：

我一直在使用 sympy 和 scipy，但无法找到或弄清楚如何求解耦合微分方程组（非线性、一阶）。

那么有什么方法可以求解耦合微分方程吗？

方程的形式为：

V11'(s) = -12*v12(s)**2
v22'(s) = 12*v12(s)**2
v12'(s) = 6*v11(s)*v12(s) - 6*v12(s)*v22(s) - 36*v12(s)

具有 v11(s)、v22(s)、v12(s) 的初始条件。

【问题讨论】：

看看sage。它使用 python 语法提供类似数学的功能。它也许能够解决 diff eqs。
您在寻找解析解还是数值解？（您提到使用 sympy，因此您可能希望有一个分析解决方案，如果有的话。）
@WarrenWeckesser 一个数值解，类似于数学的 NDsolve。
这是一阶，但对我来说这看起来不像线性系统，因为你有因变量的幂和乘积。
@Bitrex 你是对的，我错误地写了线性而不是非线性。帖子已更新。好收获！

标签： python numpy scipy enthought sympy

【解决方案1】：

关于使用 scipy 的 ODE 的数值解，请参阅 scipy.integrate.solve_ivp、scipy.integrate.odeint 或 scipy.integrate.ode。

SciPy Cookbook 中给出了一些示例（向下滚动到“常微分方程”部分）。

【讨论】：

文档似乎有点难以理解，但你链接的食谱非常适合我想要做的事情，谢谢！

【解决方案2】：

除了已经提到的 SciPy 方法 odeint 和 ode，它现在还有 solve_ivp，它更新并且通常更方便。一个完整的例子，将[v11, v22, v12]编码为数组v：

from scipy.integrate import solve_ivp
def rhs(s, v): 
    return [-12*v[2]**2, 12*v[2]**2, 6*v[0]*v[2] - 6*v[2]*v[1] - 36*v[2]]
res = solve_ivp(rhs, (0, 0.1), [2, 3, 4])

这解决了区间(0, 0.1) 上的系统，初始值为[2, 3, 4]。结果有自变量（用你的符号表示）为res.t：

array([ 0.        ,  0.01410735,  0.03114023,  0.04650042,  0.06204205,
        0.07758368,  0.0931253 ,  0.1       ])

这些值是自动选择的。可以提供t_eval 以在所需点评估解决方案：例如t_eval=np.linspace(0, 0.1)。

因变量（我们要找的函数）在res.y：

array([[ 2.        ,  0.54560138,  0.2400736 ,  0.20555144,  0.2006393 ,
         0.19995753,  0.1998629 ,  0.1998538 ],
       [ 3.        ,  4.45439862,  4.7599264 ,  4.79444856,  4.7993607 ,
         4.80004247,  4.8001371 ,  4.8001462 ],
       [ 4.        ,  1.89500744,  0.65818761,  0.24868116,  0.09268216,
         0.0345318 ,  0.01286543,  0.00830872]])

使用 Matplotlib，此解决方案被绘制为 plt.plot(res.t, res.y.T)（如果我提供 t_eval，则绘图会更平滑）。

最后，如果系统涉及阶数高于 1 的方程，则需要使用reduction to a 1st order system。

【讨论】：