用 Python 求解积分-微分耦合方程组答案

【问题标题】：Solving integro-differential coupled system of equations with Python用 Python 求解积分-微分耦合方程组
【发布时间】：2021-08-18 21:08:47
【问题描述】：

我正在尝试使用 Python 来数值求解in this paper 描述的方程组，Eqs. 30 和 31，简化形式如下：

其中G(k) 和D(k) 是一些已知函数，独立于Y。当然，所有的量也是t 的函数。作者评论说，由于各种函数表现出依赖性，因此需要数值解。

例如，我通常按照here 或here 所示的方式实现此类耦合方程的解，但现在额外的 k 依赖性让我有点困惑。

有什么建议吗？非常感谢。

【问题讨论】：

您尝试了什么，遇到了什么问题？告诉我们更多关于这个 k 系数以及它如何阻止你解决这个问题的信息？
@jlandercy k 不是参数，而是另一个变量；我已编辑问题以明确显示S。老实说，我什至不知道如何开始。
您是否需要在k 的离散值或给定范围内计算f(t) 和Y(t)？
@Patol75 ‘k’是一个连续变量，会在一定范围内积分。
我想我们知道D(k)，对吧？是否依赖Y？

标签： python scipy

【解决方案1】：

IDESolver 是由Josh Karpel 创建的通用数值积分-微分方程求解器。它的最新版本允许用户解决多维、耦合的 IDE。从提供的示例中，IDE 像

用解析解（sin x, cos x），可以用下面这段代码求解：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from idesolver import IDESolver

solver = IDESolver(
            x=np.linspace(0, 7, 100),
            y_0=[0, 1],
            c=lambda x, y: [0.5 * (y[1] + 1), -0.5 * y[0]],
            d=lambda x: -0.5,
            f=lambda y: y,
            lower_bound=lambda x: 0,
            upper_bound=lambda x: x,
)

solver.solve()

fig = plt.figure(dpi = 600)
ax = fig.add_subplot(111)

exact = [np.sin(solver.x), np.cos(solver.x)]

ax.plot(solver.x, solver.y[1], label = 'IDESolver Solution', linestyle = '-', linewidth = 3)
ax.plot(solver.x, exact[1], label = 'Analytic Solution', linestyle = ':', linewidth = 3)

ax.legend(loc = 'best')
ax.grid(True)

ax.set_title(f'Solution for Global Error Tolerance = {solver.global_error_tolerance}')
ax.set_xlabel(r'$x$')
ax.set_ylabel(r'$y(x)$')

plt.show()

【讨论】：