如何创建一个由 0 和 1 组成的矩阵，使行和列总和为特定值？

Question

我需要生成一个包含n 列和m 行的矩阵，其中每个单元格可以是0 或1，这样每列中的数字之和等于c 和中的数字之和每行等于r。如果不可能（大部分时间可能），它应该有列总和到c+/-d 和行到r+/-d 以便 max(d over all rows and columns) 尽可能小。换句话说，每一行的总和都应该接近r，每一列的总和都应该接近c。

为了说明当不存在完美解决方案时我在寻找什么，这个解决方案：

1.1.1.......
1.1.1.......
...1..1...1.
...1.1..1...
....1...1..1

比这个解决方案更好：

1.1.1.......
1.1.1.......
...1..1...1.
...1.1..1...
....11..1...

因为最后一行的总和为 0（与 1 相比）与前一个解决方案的总和更远离所需的行总和 2。

创建一个仅包含行的矩阵很容易 - 对具有精确r 1s 的向量进行排列。 如何满足第二个条件？找到一个总和太高而另一列太低的列并交换一些数字？这会有帮助吗，需要多长时间，甚至会终止，如果不可能得到完美的结果，我什么时候停止？有没有更好的办法？

您可以使用伪代码或您选择的语言或只是随机的简介。

我找到了Finding if binary matrix exists given the row and column sums，它谈到了回答是否可能，甚至在可能的情况下构建解决方案。如果不可能，这样的解决方案将有非常大的 ds。

还有这篇论文https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X06003980，我不是很懂，但似乎也与构建完美解决方案有关

Answer 1

这可以通过整数线性规划来完成。

library(lpSolve)

# inputs
nr <- 3  # no of rows
nc <- 3  # no of cols
r <- 2   # sum of each row equals r
c <- 2   # sum of each col equals c

obj <- rep(1, nr * nc)
const.mat <- rbind(
 t(rep(1, nc) %x% diag(nr)),  # this matrix multiplied by c(m) is row sums
 (diag(nc) %x% t(rep(1, nr)))  # this matrix multiplied by c(m) is col sums
)
const.rhs <- c(rep(r, nr), rep(c, nc))
out <- lp(obj = obj, const.mat = const.mat, const.dir = "=", const.rhs = const.rhs, 
  all.bin = TRUE)

out
## Success: the objective function is 6 

matrix(out$solution, nr, nc)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    0    1    1
## [2,]    1    0    1
## [3,]    1    1    0

Answer 2

您可以为此使用igraph 包中的sample_degseq 函数，该函数创建具有给定顶点度数的图形。该图的邻接矩阵将具有您想要的属性。

library(igraph)
row_col_sum = 3 
dim = 8
g = sample_degseq(rep(row_col_sum,dim), method = "simple.no.multiple")
as_adj(g)

输出：

8 x 8 sparse Matrix of class "dgCMatrix"

[1,] . . . . . 1 1 1
[2,] . . 1 1 1 . . .
[3,] . 1 . . 1 . 1 .
[4,] . 1 . . . 1 . 1
[5,] . 1 1 . . . 1 .
[6,] 1 . . 1 . . . 1
[7,] 1 . 1 . 1 . . .
[8,] 1 . . 1 . 1 . .

希望这会有所帮助！