在循环中可变调用的递归函数的时间复杂度答案

【问题标题】：Time complexity of a recursive function called variably in a loop在循环中可变调用的递归函数的时间复杂度
【发布时间】：2019-03-21 19:24:15
【问题描述】：

这个函数的时间复杂度是多少：

 public int calculate(int[] arr, int index) {
  int max = 0, sum = 0;
  for (int i = index; i < arr.length && i < index + arr[index]; i++) {
    sum += arr[i];
    max = Math.max(max, calculate(arr, i + 1));
  }
  return Math.max(max, sum);
}

函数被一个数组和一个索引调用。由于函数对自身进行 arr[index] 递归调用，我们可以说它的时间复杂度是 O(max(arr)^n)（'n' 是 arr 中的元素数）吗？是否有可能找到更严格的限制？时间复杂度肯定不是2^n吧？

【问题讨论】：

标签： algorithm recursion time-complexity big-o complexity-theory

【解决方案1】：

让我们首先从循环条件中删除i < index + arr[index] 部分，这只会（有时）减少迭代次数。通过删除它，我们可以得到最坏的情况。

在每次循环迭代中调用函数时，计算函数执行的次数（在任何递归深度）是衡量时间复杂度的好方法。我们称这个计数为 c。

现在将k定义为循环的迭代次数，不考虑递归，所以k为arr.length - i

c 依赖于k，所以说c_k

对于 k = 0，没有迭代，所以只有一次调用，所以 c₀ = 1。我们可以继续增加k：

c₁ = 1 + c₀ = 2
c₂ = 1 + c₀ + c₁ = 2c₁ = 4
c₃ = 1 + c₀ + c₁ + c₂ = 2c₂ = 8
...
c_k = 1 + ∑^k-1_i=0(c_i) = 1 + ∑^k-2_i=0(c_i) + c_k-1 = 2.c_k-1 = 2^k

当你用i=0调用函数，并将n定义为arr.length，那么结论是该函数的时间复杂度为O(2ⁿ⁾

【讨论】：