如何根据任何语言确定有限自动机的状态数？

Question

我有一个关于有限状态机的迫切问题，我们如何知道这种语言需要 2 个状态或 3 个状态？我的意思是有什么公式吗？ 虽然我相信，我们总是会努力尽量减少状态数量，但仍然我们如何确定根据任何语言或字符串创建的状态数量（无需实际构建 DFA）？

Answer 1

您实际上是在询问 DFA 最小化。这是一个经过充分研究的问题，已经开发了许多算法。上面的Wikipedia article 是一个很好的起点。

支配状态数的理论结果是Myhill-Nerode theorem，但是这个定理没有给出任何快速的公式。您必须确定根据语言定义的等价关系中等价类的数量。 Hopcroft 的 DFA 最小化算法本质上是一种用于确定 Myhill-Nerode 等价关系中的等价类的算法。我怀疑任何更直接地使用 Myhill-Nerode 的尝试都会导致类似于 Hopcroft 算法的结果，尽管我不是该领域的专家。

Answer 2

Aho-corasick 多重模式匹配算法是一个只有一种状态的有限状态机。