如果语言 L 的每个子集都是正则的，那么 L 是正则的吗？ [关闭]

Question

我知道上述定理的逆是不正确的，即如果 L 是正则的，那么 L 的每个子集都不需要是正则的

Answer 1

不仅

如果语言 L 的每个子集都是正则的，则 L 是正则的

还有

如果语言 L 的每个真子集都是正则的，则 L 是有限的

证明：

这相当于语句

如果一种语言L 是无限的，那么它包含一个不是常规语言的子集。

常规语言的泵引理指出“存在一个长度 l 使得如果语言中的单词 w 比 l 长，那么存在三个单词 x,y,z 使得 y是非空的，xyz == w 并且每个 xy^nz 都在语言中”。

如果一种语言是无限且规则的，那么它包含的单词长度比任何给定长度都长。因此，必然存在三个词x,y,z，这样每个xy^nz 都在该语言中。

现在，{xy^nz; n in N} 的每个真子集都是 L 的一个真子集。现在，肯定存在不规则的xy^nz 的真子集*。因此，每一种正则无限语言都有一个非正则的真子集。

如果一种语言是无限的且不规则的，那么考虑它的任何适当的无限子集。如果子集不规则，则该语言不是反例。如果子集是正则的，则使用上一段找到不正则的真子集。由于作为真子集是可传递的，所以这个子集是原语言的真子集，该语言不是反例。

因此，每一种无限语言都有一个不规则的真子集。

因此，如果一种语言的每个真子集都是正则的，则该语言是有限的（因此也是正则的）。

QED

*例如，集合{xy^{n^2}z; n in N}是{xy^nz; n in N}的真子集，它不是正则的，如Myhill-Nerode theorem所示。