段树、区间树、二叉索引树和范围树有什么区别？答案

【问题标题】：What are the differences between segment trees, interval trees, binary indexed trees and range trees?段树、区间树、二叉索引树和范围树有什么区别？
【发布时间】：2023-08-18 22:19:01
【问题描述】：

线段树、区间树、二叉索引树和范围树在以下方面有什么区别：

关键思想/定义
应用
更高维度的性能/订单/空间消耗

请不要只给出定义。

【问题讨论】：

它不是重复的，那个问题是芬威克树是否是区间树的概括，我的问题更具体和不同。
*.com/questions/2795989/…没有回答，那里的答案只是给出了定义。
怎么太宽泛了？ “x 和 y 有什么区别？”尽可能清晰和专注。这是一个很好的问题。
而且在任何地方都没有很好的答案。一个好的答案将对社区非常有用
这些数据结构中的大部分（除了 Fenwick 树）都在此 pdf 中进行了审查："Interval, Segment, Range, and Priority Search Trees"（作者 D. T. Lee）。或者您可以将其作为本书的一章阅读："Handbook of Data Structures and Applications"。

标签： algorithm tree graph-algorithm interval-tree segment-tree

【解决方案1】：

所有这些数据结构都用于解决不同的问题：

段树存储区间，并针对“哪些区间包含给定点”查询进行了优化。
区间树也存储区间，但针对“哪些区间与给定区间重叠”查询进行了优化。它也可以用于点查询——类似于线段树。
范围树存储点，并针对“哪些点落在给定区间内”查询进行了优化。
二进制索引树存储每个索引的项目数，并针对“索引 m 和 n 之间有多少项目”查询进行了优化。

一维的性能/空间消耗：

分段树 - O(n logn) 预处理时间，O(k+logn) 查询时间，O(n logn) 空间
区间树 - O(n logn) 预处理时间，O(k+logn) 查询时间，O(n) 空间
范围树 - O(n logn) 预处理时间，O(k+logn) 查询时间，O(n) 空间
二叉索引树 - O(n logn) 预处理时间，O(logn) 查询时间，O(n) 空间

（k是报告结果的数量）。

所有数据结构都可以是动态的，因为使用场景包括数据更改和查询：

分段树 - 可以在 O(logn) 时间内添加/删除间隔（参见 here）
区间树 - 可以在 O(logn) 时间内添加/删除区间
范围树 - 可以在 O(logn) 时间内添加/删除新点（请参阅 here）
二进制索引树 - 每个索引的项目数可以在 O(logn) 时间内增加

更高维度（d>1）：

Segment tree - O(n(logn)^d) 预处理时间，O(k+(logn)^d) 查询时间，O(n(logn)^(d-1)) 空间李>
区间树 - O(n logn) 预处理时间，O(k+(logn)^d) 查询时间，O(n logn) 空间
范围树 - O(n(logn)^d) 预处理时间，O(k+(logn)^d) 查询时间，O(n(logn)^(d-1))) 空间
二叉索引树 - O(n(logn)^d) 预处理时间，O((logn)^d) 查询时间，O(n(logn)^d) 空间

【讨论】：

我真的从中得到了段树
@j_random_hacker：基于分段树的算法在区间查询的某些更复杂的高维变体中具有优势。例如，查找哪些非轴平行线段与 2D 窗口相交。
谢谢，我对您能提供的任何详细说明感兴趣。
@j_random_hacker，段树还有另一个有趣的用途：在 O(log N) 时间内进行 RMQ（范围最小查询），其中 N 是整个间隔大小。
为什么段树是 O(n log n) 空间？他们存储 N 个叶子 + N /2 + N/4 + ... + N/2^(log N)，如果我没记错的话，这个总和是 O(N)。 @icc97 的回答也报告了 O(N) 空间。

【解决方案2】：

并不是说我可以在Lior's answer 中添加任何内容，但似乎可以使用一张好表。

一维

k是报告结果的数量

Operation	Segment	Interval	Range	Indexed
Preprocessing	n logn	n logn	n logn	n logn
Query	k+logn	k+logn	k+logn	logn
Space	n logn	n	n	n
Insert/Delete	logn	logn	logn	logn

更高的维度

d > 1

Operation	Segment	Interval	Range	Indexed
Preprocessing	n(logn)^d	n logn	n(logn)^d	n(logn)^d
Query	k+(logn)^d	k+(logn)^d	k+(logn)^d	(logn)^d
Space	n(logn)^(d-1)	n logn	n(logn)^(d-1))	n(logn)^d

【讨论】：

报告结果是什么意思？
@ps06756 搜索算法通常具有 log(n) 的运行时间，其中 n 是输入大小，但可以产生在 n 中线性的结果，这不能在对数时间内完成（在 log 中输出 n 个数字(n) 时间是不可能的）。
段树不应该在第一个表中有O(n logn) space吗？

【解决方案3】：

段树和二叉索引树的预处理和空间界限可以改进：

段树可以存储在2n 空间中，然后使用动态编程在2n = O(n) 中构建，如果您放弃在任意点添加间隔：https://cp-algorithms.com/data_structures/segment_tree.html#toc-tgt-6
BIT可以内置在n，看这个答案：Is it possible to build a Fenwick tree in O(n)?
BIT 还支持在O(log(n)) 时间作为操作追加到结尾

【讨论】：