拆分点集，算法

Question

我正在为考试而学习，但我无法解决这个问题：

我们得到一组 n 个点和一个整数 d。任务是创建两个不相交的点集 A_1 和 A_2（给定联合集 n 个点），使得距离A_i（对于 i = 1 或 2）的每对点之间的 (欧几里得) 小于或等于 d。如果不可能，打印 -1。

例如输入：

d = 3，点数：

(5,3), (1,1), (4,2), (1,3), (5,2), (2,3), (5,1)

我们可以创造：

A_1 = { (2,3), (1,3), (1,1) }

A_2 = { (5,3), (4,2), (5,2), (5,1) }

因为来自 A_i 的每一对点（对于 i = 1 或 2）都足够接近。

我真的很想知道如何解决它，但不知道。由于n很小，算法甚至可以是O(n^2 log n)，但我不知道如何开始。我在想可能从计算每对点之间的距离开始，然后取两个最大距离的点并将它们放入不同的集合中（如果它们的距离大于 d）。然后对其余的对重复此步骤，但问题是如何决定我可以合法地将下一个点放在哪里。谁能帮忙解决这个算法？

Answer 1

让我们考虑一个具有 n 个节点（对应于 n 个点）的简单图。如果两个对应点之间的距离大于d，则连接两个节点。

如果可以创建两个不相交的集合，我们必须有一个二分图（如果一些节点不连接到其他节点，它们可以放在任何集合中）。

因此，我们只需要测试图的二分性，这很简单：

http://en.wikipedia.org/wiki/Bipartite_graph#Testing_bipartiteness

Answer 2

想象一个数组，其中所有点都在顶部，所有点都在侧面。

如果定义单元格的两个点（左侧和顶部）相距大于 d，则在任何单元格中用零填充数组，如果两个点相距小于 d，则填充零。

       (5,3), (1,1), (4,2), (1,3), (5,2), (2,3), (5,1)
(5,3),          0      1      0      1      1      1
(1,1),   0             0      1      0      1      0
(4,2),   1      0             0      1      1      1
(1,3),   0      1      0             0      1      0
(5,2),   1      0      1      0             0      1
(2,3),   1      1      1      1      0             0
(5,1)    1      0      1      0      1      0

（注意：您必须在每个三角形中填充相同的 0 和 1 翻转。）

忽略对角线。注意右上角的三角形部分。

跳过第 0 列。

从第 1 列开始，如果它的顶行没有 1，则将其与其右侧的顶行有 1 的另一列交换。然后也交换相同的行以保持对角线空白。 （如果没有，则没有解决方案。）[示例：交换第 2 列和第 3 列以及第 2 和第 3 行] 注意这一行的选择可能会成为优化因素。

移动到下一列，如果顶行没有 1，则与右侧的列交换并交换相应的行。如果没有，请尝试将其与下面的行交换，该行在该列中有 1 并执行相应的列。如果低于对角线，则应忽略其下方的行。

我们在三角形的左上角收集点，其中包含 1。这些点都可以放在其中一个集合中。

这是我在脑海中迷失的地方，但是您必须从三角形的右下角开始执行类似的过程，并收集将在另一个集合中的点。交换行和对应的列以收集三角形右下角的 1。

一旦你交换了足够多的行，你就可以在右上角形成一个矩形——一个没有左下角切掉的真正矩形——并且那个矩形包含所有的 0，你就有了一个解决方案。如果做不到，那就没有办法了。

比较了三角形中最低行为 1 和三角形中最右列为 1 和它们相交的单元格。该单元格必须在三角形中才能存在解决方案。

（我给你留下了一个很大的“待办事项”来找到如何交错行和列的交换以清除三角形左上角和右下角的 0。也许这里的讨论可以解决如何让它工作。或者发现它不起作用。）

Answer 3

从距离矩阵开始似乎是个好主意。然后在这个距离矩阵中选择每个大于 d 的条目。这个条目意味着相应的点必须在不同的集合中。

从两个空集开始并迭代所有相关条目 (> d)。

如果集合为空，则将两个点放入其中。否则有三种选择：

1. 如果清楚点属于哪个集合，则将它们放入其中（也就是说，插入点会保留最大距离标准，可以从距离矩阵中获得）。
2. 如果无法将点插入其中一组，则问题无法解决。
3. 如果两个点都可以设置两个集合，我们就有问题了。我建议开始一对新的点集并将点放入其中。然后，如果随后的点对再次不清楚，请检查第二组对。如果还不清楚，请检查第三组对，依此类推。如果点对插入到先前的集合中，请检查以下集合，如果点现在已清除。最后，您有一个点对列表，可以根据需要合并。

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我刚刚想到了第二种方法，这种方法类似，但应该更快一些。

我们也从距离矩阵开始。

除了这两个集合之外，我们还维护一个堆栈、队列或任何新添加的条目。

因此，如果我们从距离矩阵中选择第一个相关条目，则这些点将添加到两个队列中。只要其中一个队列中有条目，请执行以下操作：

从队列中删除点并将其插入到集合中。如果插入违反了最大距离标准，则问题无法解决。检查该点的距离矩阵中的行或列，并提取该行/列中的每个相关条目。将伙伴点添加到另一个集合的队列中（因为它必须在不同的集合中）。

如果两个队列都是空的，则将下一个尚未访问的相关条目添加到队列中并重新开始。

该算法的优点是点按它们可以相互影响的顺序进行处理。因此，不需要一对以上的集合。