如何获得两个平面之间的正确角度？

Question

enter image description here有据可查的是，要找到两个平面之间的交角，我们使用垂直于每个平面的法向量的点积 - 然后给出角度的余弦。我尝试对此进行编程，但意识到在某些情况下，计算结果是补充而不是相交角本身。 下面是两个示例代码，显示了这一点：

x = linspace(-10,20, 12)
y1 = (0*x) + 9
y2 = -x + 19

figure
k = plotyy(x,y1, x,y2);
set(k(2),'YDir','reverse')

%vectors and normal vectors 
n1 = [0, 1];
v1 = [1, 0];

n2 = [1, 1];
v2 = [1, -1];

angle = (acos(dot(v1, v2) / (norm(v1) * norm(v2))) * 180/pi)

第二个：

x = linspace(-10,10, 12);
y1 = -(0.5*x) + 1.333;

plot(x, y1); hold on

%2nd line
xd = 5;
plot(xd, x, 'o')

%vectors and normal vectors 
n1 = [0.5, 1]; v1 = [1, -0.5];
n2 = [-5, 0]; v2 = [0, 5];

angle = (acos(dot(v1, v2) / (norm(v1) * norm(v2))) * 180/pi)

请注意，第一个示例计算了正确的角度（45 度），但第二个示例计算了补角（116.5651 度）。在多次尝试破解这个问题后，我意识到如果一个法线指向正方向，而另一个法线指向负方向（见图 A）。然后：角度 = 180 -(acos(dot(n1, n2) / (norm(v1) * norm(v2)))) * 180/pi。但是，如果 n1 和 n2 都指向同一个方向（正或负），如图所示。 B、则：角度 = acos(dot(n1, n2) / (norm(v1) * norm(v2)))) * 180/pi

我已经用几个例子对此进行了测试，我相信这个约定在所有情况下都适用。我也很确定这对那里的许多人会有用。尽管如此，对我来说，问题是如何编程。任何建议/帮助/建议将不胜感激。谢谢！

Answer 1

两个平面形成两对角（a，Pi-a，a，Pi-a）。当然，所有这些都是正确的。而arrcosine方法在0..Pi范围内从这些角度给出一个。

如果您有定向平面，由法线方向定义，您可以使用函数计算法线方向之间的 -Pi..Pi 范围内的角度：

Angle = atan2(vectorproduct(normal1, normal2), dot(normal1, normal2))

注意这个角度的符号取决于法线向量的顺序！

为您的 2D 数据提供的 Delphi 示例

angle -45.00
angle 116.57

正如我对纸质草图所期望的那样 - 方法给出了旋转 v1 以使其与 v2 共线所需的角度

var
  an, v1x, v1y, v2x, v2y: Double;
begin
  v1x := 1;
  v1y := 0;
  v2x := 1;
  v2y := -1;
  an := RadToDeg(ArcTan2(v1x * v2y - v2x * v1y, v1x * v2x + v1y * v2y));
  Memo1.Lines.Add(Format('angle %5.2f', [an]));
  v1x := 1;
  v1y := -0.5;
  v2x := 0;
  v2y := 5;
  an := RadToDeg(ArcTan2(v1x * v2y - v2x * v1y, v1x * v2x + v1y * v2y));
  Memo1.Lines.Add(Format('angle %5.2f', [an]));