如何在 3D 中选择平面和三角形边缘之间的两个正确交点之一？

Question

我在 3D 空间的某处有一条线（A、B）和一个三角形（P0、P1、P2）。换句话说，三角形有 3 个点（每个 [x,y,z]），直线有两个点（也有 [x,y,z]）。线的一点位于三角形内（A 或 B）。主要目标是在屏幕上找到构成线条一部分的三角形边缘的交点（A，B）。

我做什么：

1.从线开始（A）、线结束（B）和相机位置计算平面法线：

    Vector3 Normal = Vector3.Cross(A - cameraPos, B - cameraPos);

2.通过检查三角形的每条边找到两个交点：

    bool IsPlaneIntersectLine(Vector3 Normal, Vector3 A, Vector3 B, Vector3 EdgePoint1, Vector3 EdgePoint2, out Vector3 Intersection)
    {
        float dotProduct = Vector3.Dot(Normal, (EdgePoint1 - EdgePoint2));
        if (dotProduct == 0f)
            return false;
        float dot1 = Vector3.Dot(Normal, (A - EdgePoint2));
        float distance = dot1 / dotProduct;
        if (distance > 1f || distance < 0f)
            return false;
        Intersection = EdgePoint2 + distance * (EdgePoint1 - EdgePoint2);
        return true;
    }

    Vector3 intersection1, intersection2, intersection3;
    bool isEdge1Intersected = IsPlaneIntersectLine(Normal, A, B, triangle.P0, triangle.P1, out intersection1);
    bool isEdge2Intersected = IsPlaneIntersectLine(Normal, A, B, triangle.P1, triangle.P2, out intersection2);
    bool isEdge3Intersected = IsPlaneIntersectLine(Normal, A, B, triangle.P2, triangle.P0, out intersection3);

结果我有两个交叉点，但只有 一个是正确的 - 交叉点，即 线的一部分（A，B）在屏幕上。我也有限制 - 我无法将此点转换为屏幕空间进行检查 - 两个交点中的哪一个位于 A 和 B 之间。

我也试过检查线向量和相交向量之间的点积：

    float dot = Vector3.Dot((Intersection - A), (B - A));
    if (dot < 0f)
    {
        return false;
    }

但有些三角形/边不适合这种情况。

如何在屏幕上找到三角形边缘上的一个交点（A、B）？

Answer 1

这里出现的是游戏开发者的答案，而不是几何专业的答案，所以它会让大多数数学家畏缩，但它通常应该有效。

由于三角形是平面的，并且您已经计算了平面法线，您可以创建一个变换矩阵，将三角形旋转，使其法线垂直向上，并将其中心平移到 [0,0,0]。 （我无法解释创建这个矩阵的数学原理，但是有许多内置了这个逻辑的开源库，基本上是一个逆“查看”矩阵）。这实际上是一个世界到本地空间的矩阵。

一旦你有了那个矩阵，你可以将它应用到线上的两个点上，将它移动到局部空间中，然后你就有一个非常简单的任务来确定线与 XZ 轴平面的交点（即求解哪里Y 等于零）。虽然您在这里拥有临时 2D 的所有内容，但您可以使用重心坐标来检查交点是否在三角形中、边界上或外部也很容易。

在本地空间中找到答案点后，通过矩阵的倒数对其进行变换以将其移回世界空间，然后就可以完成了。

Answer 2

如果您想要一个 2D 交点，如屏幕上所见，由一条直线和最多两条边组成，那么您首先需要计算投影坐标。
有关详细信息，请搜索您了解转换（使用 4x4 矩阵）的任何好的教程。请务必了解三种转换：模型、视图和投影。 一旦你有 2D 数据（在投影后忽略“深度”坐标），你的问题就会减少到测试三个 2D 线-线交点。

如果您想要 3D 交点（原始数据，无转换），则搜索线平面交点（三角形的平面）。一旦你得到交点，如果有的话，计算从这个点到每条边的距离。

Answer 3

正如我已经在 previous answer 中描述的一种方法，与更通用的算法有关，检查这种特殊情况的一种直接方法是形成两个叉积向量

V1 = Vector3.Cross((A - cameraPos), (Intersection - cameraPos))

V2 = Vector3.Cross((Intersection - cameraPos), (B - cameraPos))

这两个向量垂直于平面(cameraPos, A, B)，因此位于一条公共线上。如果它们都指向同一个方向，那么当你的视线从A 点开始向B 点旋转时，你会看到第一个点A，然后指向Intersection，然后指向@987654331 @。但是，如果向量 V1 和 V2 指向相反的方向，那么您将看不到点 A 和 B 之间的交点。因此，为了解决您的问题，我希望执行以下算法工作：

V1 =  Vector3.Cross((A - cameraPos), (Intersection - cameraPos));
V2 =  Vector3.Cross((Intersection - cameraPos), (B - cameraPos));
dot = Vector3.Dot(V1, V2);

if dot < 0f
{
   return false
} 

请注意，所有这些算法主要适用于可见三角形，因此对于不可见的三角形，需要小心。此外，如果 A 和 B 在同一个三角形中，这些算法会遇到异常。如果A 已经在一个三角形的边缘，那么这个修复是不必要的，我认为你可以直接从general algorithm 转到第3 步。