不使用主定理的递归关系答案

【问题标题】：Recurrence Relation without using Master Theorem不使用主定理的递归关系
【发布时间】：2014-07-06 23:58:21
【问题描述】：

我可以使用主定理轻松解决一些递归关系，但我想了解如何在不使用该定理的情况下解决它们

前：

T(n) = 5T(n/2) + O(n)  T(1) =1

回答：O(n^{log_2(5)}

扩展，

T(n) = 5T(n/2) + cn = 5(5T(n/4) + c(n/2)) + cn =



..... = 5^i * T(n/(2^i)) + cn*(1 + (5/2) + (5/2)^2 +......+ (5/2)^i)

Now let i= log_2(n)

然后

5^(log_2(n)) * T(1) + cn*(1 + (5/2) + (5/2)^2 +......+ (5/2)^(log_2(n)))

在这之后我迷路了。如何获得类似于n^{log_2(5) 的内容？

更新：使用几何级数求和公式(Sum = a* (1-r^n)/(1-r))

我收到Sum = 1*(1-(5/2)^{log_2(n)})/(-3/2) = 2/3*c*(5^{log_2(n)} - n

5^{log_2(n)} 和 n^{log_2(5)} 有什么关系？谢谢：D

【问题讨论】：

【解决方案1】：

我没有检查您的其余计算，但请注意

a^b = exp(b * ln(a))

和

log_b(a) = ln(a) / ln(b)

因此

5^{log_2(n)} = exp(log_2(n) * ln(5)) = exp(ln(n) / ln(2) * ln(5))

还有

n^{log_2(5)} = exp(ln(5) / ln(2) * ln(n))

【讨论】：