如何在 3D 空间中有效地找到无限线和 AABB 之间的最近点？
我有一个简单的解决方案，包括找到最接近线的 AABB 的所有 12 个边缘的点并选择最接近的对，这可行，但性能不是很好。我的用例需要更快的东西。
在我的搜索中，我发现了大量关于查找线和 AABB 之间的冲突的文献，以及一些朴素算法的实现。但是有什么更好的吗？
【问题讨论】：
我（也相当幼稚）的解决方案是选择最靠近 AABB 中心的线上的点，然后按照此处的示例从该点向外工作： https://math.stackexchange.com/questions/2133217/minimal-distance-to-a-cube-in-2d-and-3d-from-a-point-lying-outside
然后沿线迭代，直到距离不再减小（必须在每个方向上向外扫。）
在线条平行于面或边缘的情况下，这将具有非常快的好处，但我不知道它是否会比您在与线条没有平行方面的天真的解决方案更快AABB。
（当然，数学堆栈交换的解决方案需要从伪代码适应您选择的语言，并且您必须在找到后计算向量的坐标才能获得分数最短路径。）
【讨论】：
我首先想到的是，您不需要检查所有 12 条边。例如假设你想找到离 A 线最近的点。通过一些简单的数学运算，你可以找到一条穿过 AABB 中心的垂直线 A'。你可以找到A和A'的交点，我们称那个点为P。所以点P基本上是AABB中心在A线上的投影，有数学公式可以计算。如果你能告诉我们你的无限线是如何定义的，我会添加它（它是由两个点定义的，还是由一个点和一个方向向量定义的？）。
现在您可以查看 P 的坐标以检查它相对于 AABB 的中心位于哪个八分圆，即从 P 的坐标中减去中心的坐标，这将导致中心到原点的基本平移（原点偏移）。立方体最近的顶点将是同一个八分圆中的那个。
现在，离线最近的边将是该顶点所属的 3 条边之一。
这将在您算法的 1/4 时间内起作用。
【讨论】：
您的线将类似于 cv + p，其中 v 是方向向量，p 是它通过的点。
从直线到盒子上最近点的方向将垂直于直线，因此获取一对v 的法线，例如n 和m。
实际最近点将是n 和m 的线性组合，其中一个点位于直线上。 （你从线上的一个点开始，沿着一条垂直于这条线的线到达你的目标点，这条线的每一条垂直线都是通过该点的法线的线性组合。）
所以解决an + bm + cv + p = s，其中s 是你盒子的每个角落。
不失一般性，我们可以假设v 在其前两个组件中的任何一个都不为零。 （如果它有一个，排列索引使其成为第三个。如果它有两个，这将成为一个更简单的问题，我们可以单独解决。）
这意味着我们可以使用n = (1, 0, N) 和m = (0, 1, M)。
由于n * v = 0和m * v = 0，我们可以找到N = -v1/v3和M = -v2/v3。我们不会做所有这些替换，只要知道这些是数字而不是变量就足够了。
现在我们要解决an + bm + cv = s - p。我们可以用普通代数来做。我们得到
c = (s3 - p3 - N(s1 - p1)- M(s2 - p2))/(v3 - N v1 - M v2)
然后cv + p 是您的直线上离该角最近的点。
同时我们还有：
b = s2 - p2 - v2 c
a = s1 - p1 - v1 c
线到你的角落的距离是|an + bm|，所以距离的平方是
D^2 = (an + bm) * (an + bm) = (a^2 + b^2 + (aM + bM)^2)
当您查看角落时，您可以考虑您有一个盒子这一事实。选择一个角落，去一个邻居，然后去那个让你从那个角落对角线的邻居。如果这三个值中的一个值在同一方向上比其他两个值更远，则最近的点将不在通往它的边缘上。这将删除所有涉及它的边缘。由于这条线可能会直接穿过您的盒子，因此这可能不会发生。但这不太可能。
对于构成边的每一对角（不排除），我们有一个范围为c 值x c0 + (1-x) c1 和x in [0,1]，它们表示直线上距离最近点的最近点的范围在边缘。
对应的a和b的值为
a = s1-p1-v2(x c0 + (1-x)c1) = s1-p1-v2-(c0-c1)v2 x
b = s2-p2-v1(x c0 + (1-x)c1) = s2-p2-v1-(c0-c1)v1 x
同样，知道常数很重要，所以我们把它们写成：
a = A0 + A1x
b = B0 + B1x
现在，从上面
D^2 = (a^2 + b^2 + (aN + bM)^2)
所以我们可以得到 x 的平方距离。
D^2 = (A0 + A1 x)^2 + (B0 + B1 x)^2 +
(A0 N + A1 Nx)^2 + (B0 M + B1 MX)^2
将这一切相乘，x 项将是每个正方形的中间项，x^2 项将是每个正方形的平方项。
很明显，抛物线k + rx + qx^2 的最小值是r + 2qx = 0 在'x = -1/2 r/q，通过微分。
所以最小值将是
x = -(A0 A1 + B0 B2 + (NA0 A1 + MB0 B1))/
(A1^2 + B1^2 + (A1 N + B1 M)^2)
当x 介于 0 和 1 之间时，您有一个最小值或最大值。通过比较这些结果，您应该能够丢弃最大值。
如果最小值出现在面上，而不是边上，则限定值过多。在那种情况下，答案显然是零——这条线碰到了盒子。
【讨论】：