数组合并排序复杂度计算

Question

我的算法教科书中有一个练习，但我不太确定解决方案。我需要解释为什么这个解决方案：

function array_merge_sorted(array $foo, array $bar)
{
  $baz = array_merge($foo, $bar);
  $baz = array_unique($baz);
  sort($baz);

  return $baz;
}

合并两个数组并对它们进行排序并不是最有效的，我需要提供一种最优化的解决方案，并证明无法做出更好的解决方案。

我的想法是使用 O(n log n) 的合并排序算法来合并和排序作为参数传递的两个数组。但我如何证明这是有史以来最好的解决方案？

Answer 1

算法

正如您所说，两个输入都已排序，您可以使用简单的类似拉链的方法。

每个输入数组都有一个指针，指向它的开头。然后比较两个元素，将较小的元素添加到结果中，并将数组的指针与较小的元素一起前进。然后重复该步骤，直到两个指针都到达末尾并且所有元素都添加到结果中。

您可以在Wikipedia#Merge algorithm 找到此类算法的集合，我目前提出的方法被列为合并两个列表。

这是一些伪代码：

function Array<Element> mergeSorted(Array<Element> first, Array<Element> second) {
    Array<Element> result = new Array<Element>(first.length + second.length);
    int firstPointer = 0;
    int secondPointer = 0;

    while (firstPointer < first.length && secondPointer < first.length) {
        Element elementOfFirst = first.get(firstPointer);
        Element elementOfSecond = second.get(secondPointer);

        if (elementOfFirst < elementOfSecond) {
            result.add(elementOfFirst);
            firstPointer = firstPointer + 1;
        } else {
            result.add(elementOfSecond);
            secondPointer = secondPointer + 1;
        }
    }
}

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证明

该算法显然适用于O(n)，其中n 是结果列表的大小。或更准确地说，它是O(max(n, n')，其中n 是第一个列表的大小，n' 是第二个列表的大小（或O(n + n')，这是同一组）。

这显然也是最佳，因为在某些时候，您需要至少遍历一次所有元素，以便构建结果并知道最终的顺序。对于这个问题，这会产生Omega(n) 的下限，因此该算法是最优的。

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更正式的证明假设一个更好的任意算法A解决了问题而不至少查看每个元素一次（或更准确地说，小于O(n)）。

我们将算法不考虑的元素称为e。我们现在可以构造一个输入I，这样e 的值会满足其自身数组中的顺序，但会被结果数组中的算法错误地放置。

我们能够为每个算法 A 这样做，并且由于 A 总是需要在所有可能的输入上正确工作，我们能够找到一个反例 I 使其失败。

因此A 不存在，Omega(n) 是该问题的下限。

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为什么给定的算法更差

您给定的算法首先合并两个数组，这在O(n) 中有效，这很好。但之后它会对数组进行排序。

排序（更准确地说：基于比较的排序）的下限为Omega(n log n)。这意味着每一个这样的算法都不能比这更好。

因此，给定算法的总时间复杂度为O(n log n)（由于排序部分）。哪个比O(n)差，其他算法的复杂度也是最优解。

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然而，为了超级正确，我们还需要争论 sort 方法是否真的产生了这种复杂性，因为它不会得到任意输入，而是总是得到 的结果合并-方法。因此，特定排序方法可能对此类特定输入特别有效，最终产生O(n)。

但我怀疑这是否是您的任务重点。