使用离散方法计算导数

Question

我正在寻找一种使用离散且快速的方法来计算导数的方法。由于现在我不知道我所拥有的方程的类型，因此我正在寻找类似于我们可以找到的积分方法的离散方法，例如欧拉方法。

Answer 1

我认为您正在寻找以点计算的导数。 如果是这种情况，这里有一个简单的方法可以做到这一点。你需要知道一点的导数，比如a。它由 h->0 的差商的极限给出：

您实际上需要实现限制功能。所以你：

• 定义一个 epsilon，设置得越小越精确，越大越快
• 计算起始h的差商，假设h=0.01，存入f1

• 现在处于 DO-WHILE 循环中：

  1- 将 h 除以 2（或除以 10，重要的是使其更小）
  2- 用新的 h 值再次计算差商，将其存储在 f2
  3- 设置 diff = abs(f2-f1)
  4- 分配 f1 = f2
  5- 从第 1 点重复 while (diff>epsilon)

• 您最终可以将 f1（或 f2）作为 f'(a) 的值返回

记住： 您假设函数在 a 中是可微的。 由于您的计算机可以处理的有限十进制数字的错误，您将得到的每个结果都是错误的，这是无法逃脱的。

python中的示例：

def derive(f, a, h=0.01, epsilon = 1e-7):
    f1 = (f(a+h)-f(a))/h
    while True: # DO-WHILE
        h /= 2.
        f2 = (f(a+h)-f(a))/h
        diff = abs(f2-f1)
        f1 = f2
        if diff<epsilon: break
    return f2

print "derivatives in x=0"
print "x^2: \t\t %.6f" % derive(lambda x: x**2,0)
print "x:\t\t %.6f" % derive(lambda x: x,0)
print "(x-1)^2:\t %.6f" % derive(lambda x: (x-1)**2,0)

print "\n\nReal values:"
print derive(lambda x: x**2,0)
print derive(lambda x: x,0)
print derive(lambda x: (x-1)**2,0)

输出：

derivatives in x=0
x^2:         0.000000
x:       1.000000
(x-1)^2:     -2.000000


Real values:
7.62939453125e-08
1.0
-1.99999992328

我第一次得到“精确”值“因为只使用了结果的前 6 位数字，请注意我使用 1e-7 作为 epsilon。之后打印 REAL 计算值，它们显然是数学上的错误。选择多小的 epsilon 取决于您希望结果有多精确。

Answer 2

在计算数值（“有限”）导数方面有相当多的理论（和既定实践）。让所有细节正确，让您相信结果，这并非易事。如果有任何方法可以获得函数的解析导数（使用笔和纸，或计算机代数系统，例如 Maple、Mathematica、Sage 或 SymPy），这是迄今为止最好的选项。

如果你不能得到解析形式，或者你不知道函数（只是它的输出），那么数值估计是你唯一的选择。这个chapter in Numerical Recipies in C 是一个好的开始。

Answer 3

一种简单的方法是针对您感兴趣的导数的每个点计算 f 在一个小值上的变化。例如，要计算 ∂f/∂x，您可以使用以下方法：

epsilon = 1e-8
∂f/∂x(x, y, z) = (f(x+epsilon,y,z) - f(x-epsilon, y, z))/(epsilon * 2);

其他部分在 y 和 z 中是相似的。

为 epsilon 选择的值取决于 f 的内容、所需的精度、使用的浮点类型以及可能的其他因素。我建议你用你感兴趣的函数来试验它的值。

Answer 4

要进行数值微分，这始终是一个近似值，有两种常见的情况：

1. 您有一种方法（算法、方程）来计算任何给定 x 处的 f(x) 的值，或者
2. f(x) 的值位于一组等距的 x 值（f(1)、f(1.5)、f(2) 等）：

1. 如果你有算法，那么你最好看看Andrea Ambu's answer*：
   1. 从 f(a+h) 和 f(a-h) 的值开始，然后执行
      f'(a) = { f(a+h)-f(a-h) } / 2h
      这被称为中心差异。
   2. 根据 Andrea 的回答，减小偏移量 h 的大小直到 f'(a) 停止变化。
   • 注意不要在不检查是否大于 0 的情况下除以 2h，否则会出现除以零错误。
2. 如果函数的值在 f(x) = f(x_n) = f_n 的一组值，那么我们可以做一些事情类似于上述方法，但我们的准确性将受到 x_n 的值和它们之间的差距的限制。
3. 第一个近似值只是使用与上面相同的中心差分算子；
   f'_n = (f_n+1 - f_n-1)/2h,
   其中 h 是 x_n 的值之间的相等间距。
4. 接下来是使用five-point stencil，尽管它只有 4 个系数，如该维基百科页面所述。这使用从 f_n-2 到 f_n+2 的值： f'_n = (-f_{n+2 + 8fn+1 - 8fn-1 +fn-2)/12h.}
5. 存在使用更多点的更高阶近似值，但随着收益递减，计算变得越来越困难，并且在数值上变得更加不稳定。
6. **注意**：这些有限差分公式依赖于 f 与 x_n-1≤ x ≤_{n+1 范围内的多项式的形状大致相同子>。对于像正弦波这样的函数，它们在计算导数方面可能非常糟糕。}

* Andrea 的答案使用前向差分算子 {f(a+h) - f(a)}/h 而不是中心差分算子 {f(a+h) - f(a-h)}/2h，但前向差分算子在数值解中精度较低。

Answer 5

不使用像 Maple 这样的符号数学语言，您能做的最好的事情就是在各个点近似导数。 （然后插值，如果你需要一个函数。）

如果你已经有了想要使用的功能，那么你应该使用backward divided-difference forumla和Richardson extrapolation来改善你的错误。

还要记住，这些方法适用于一个变量的函数。但是，每个变量的偏导数将其他变量视为常数。

Answer 6

Automatic differentiation 是做这种事情的最准确和概念上最棒的方式。稍微复杂一点。

Answer 7

正式地说，不。您正在描述离散函数的（偏）导数，或者您正在寻求一种数值方法来逼近连续函数的（偏）导数。

离散函数没有导数。如果您查看导数的 epsilon-delta 定义，您会发现您需要能够在接近您想要导数的点处评估函数。如果函数的值只有 x、y 和 z 的整数值，这没有任何意义。所以没有办法找到一个离散函数对任何fast值的导数。

如果您想要一种数值方法来精确计算连续函数的导数，那么您也很不走运。导数的数值方法是启发式的，而不是算法的。没有数值方法可以保证精确解。幸运的是，存在许多好的启发式方法。 Mathematica 默认使用 Brent's principle axis method 的专用版本。我建议你使用GNU Scientific Library，它很好地实现了布伦特的方法。我的一门数学课程的全部成绩都归功于 GSL。如果这是你的事，红宝石绑定非常好。如有必要，大多数数值微分库都有一些可用的不同方法。

如果你真的想要，我可以拿出一些示例代码。告诉我。

Answer 8

我假设您的函数比您发布的简单函数更复杂，因为封闭式解决方案太简单了。

当您使用“离散”一词时，我认为您需要“有限差异”。您需要一些离散化来计算近似值。

Df/Dx ~ (f2-f1)/(x2-x1)等

Answer 9

我希望这可能会有所帮助NUMERICAL DIFFERENTIATION.

Answer 10

如果函数如您所指出的那样是线性的，那么导数是微不足道的。关于“x”的导数是“a”；关于“y”的导数是“b”，关于“z”的导数是“c”。如果方程是更复杂的形式，并且您需要一个表示解的公式而不是经验解，那么请提交更复杂的方程形式。

问候