计算离散周期数据的导数

Question

我有一个数组 y[x], x=0,1,2,...,10^6，用 y(10^6)=y(0) 描述周期信号，我想计算它用快速方法求导 dy/dx。

我尝试了光谱差分法，即

dy/dx = inverse_fourier_transform (i*kfourier_transform(y)[k]) ....(1)

结果与 (y[x+1]-y[x-1])/2 不同，即由有限差分法建议。

两者哪个更准确，哪个更快？还有其他类似的方法吗？

以下是理解结果差异的努力：

如果将 (1) 中的fourier_transform 和inverse_fourier_transform 的和同时展开，则可以将dy/dx 表示为y[x] 与系数a[x] 的线性组合。我计算了这些系数，它们似乎是 1/n（当数组的长度变为无穷大时），其中 n 是到检查导数的距离。与仅使用两个相邻点的有限差分方法相比，光谱差异是高度非局部的...我对这个结果是否正确，如果是，如何理解？

Answer 1

如果您对高于奈奎斯特频率的信号进行采样，那么傅立叶方法会给您一个准确的答案，因为您的数据完全描述了信号（假设没有噪声）。

有限差分法是一阶近似，因此并不精确。但是，如果您绘制两者，它们应该显示相同的基本趋势。如果它们看起来完全不同，那么您可能在某个地方有错误。

然而，一个快速的 ft 是 O(nlog(n)) 而有限差分是 O(n)，所以后者更快（但不是快到应该自动首选）。

傅立叶方法是非局部的，因为它准确地构建了整个信号（因此使用所有波长）。