为什么 cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+I*NaN 在 C 语言中？答案

【问题标题】：Why cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+I*NaN in the C langage?为什么 cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+I*NaN 在 C 语言中？
【发布时间】：2013-07-06 14:27:46
【问题描述】：

如果我们看一下 C 语言的委员会草案：n1570 特别是Annex G关于复数数学函数的行为，我们可以看到复指数在无穷大处具有以下行为：

cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+I*NaN
(where the sign of the real part of the result is unspecified).

我的问题是：为什么？

从数学的角度来看，如果我们以同样的方式逼近实部和虚部的无穷大，极限是复无穷大（例如参见Wolfram Alpha），它对应于一个无穷大的模数和未定义的参数.

此外，如果我们查看 cexp 函数的行为，它的实部和虚部相当可比（参见 Wolfram Alpha 上的 3D 图）。

所以，我早就料到了：

cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+/-I*infinity

代替：

cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+I*NaN

我知道这样做是有充分理由的，但我不明白。有人可以解释一下这背后的逻辑吗？

编辑：这里是链接的摘要：

【问题讨论】：

文档“Rationale for International Standard -- Programming Languages -- C”的第 G.5.1 节似乎包含一些有关处理包括 cexp() 在内的复杂函数的特殊值的相关 cmets。你可以在这里找到它：open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/C99RationaleV5.10.pdf
感谢您提供此链接。这很有启发性，但它并没有带来关于案例cexp(infinity+I*infinity)的答案。
我所知道的唯一解释标准委员会思考过程的文件是基本原理文件。除非您能找到相关的委员会会议记录（不知道 ISO 委员会是否提供公开记录）或可以接触到委员会成员，否则关于标准为何如此表述的问题恐怕仍然没有答案。

标签： c math floating-point iso complex-numbers

【解决方案1】：

动机确实在njuffa链接的文档中给出，http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/C99RationaleV5.10.pdf：

7.3.9.4 cproj 函数

复数数学中常用两种拓扑：复数平面及其无限连续体，黎曼球面它的单一无穷大。复平面更适合超越函数，代数函数的黎曼球面。具有无穷多的复数类型提供了一个复平面的有用（尽管不完美）模型。 cproj 函数通过将所有无穷大映射到一个，并且应该在任何操作之前使用，尤其是比较，这可能会给任何其他的虚假结果无穷大。

请注意，具有一个无限部分和一个 NaN 部分的复数值是被视为无穷大，而不是 NaN，因为如果一个部分是无限的，复值是无限的，独立于另一个的值部分。出于同样的原因，如果它的参数 cabs 返回一个无穷大有一个无限部分和一个 NaN 部分。

G.5.1中也有类似的说法：

...为了支持一无穷大模型，C99 将任何复杂的具有至少一个无限部分作为复数无限的值（即使另一部分是 NaN），并保证操作和功能尊重无穷大的基本性质，并提供 cproj 函数将所有无穷映射到规范无穷。 ...

相关搜索词是“Riemann”，如在 Riemann sphere 中，即具有单个无穷大的扩展复平面的数学模型，在 Mathematica / Wolfram Alpha 中使用，但在数学中并不普遍。

【讨论】：

【解决方案2】：

NaN 的一个原因是没有表示这个无限值所采用的“方向”。使用实数，lim a->inf : exp(a) -> + infinity。明确定义的方向给出了一个直观的含义：

1/(+0) = +inf、1.0 / (-0.0) = -inf 和：

1/(+inf) = +0, 1/(-inf) = -0

将此扩展到复平面：cexp([-]inf + b.I) = [-]inf.{cos(b) + I.sin(b)}

即使结果有无限大，仍然有方向的概念，例如，如果b = - PI/2 -> cexp(+inf + b.I) = +inf.(-I)

如果b = [-]inf，那么接近无穷大的方向是不确定的。有无数个方向，cos(b) 和 sin(b) 的值未定义。毫不奇怪，如果参数是无穷大，则实值 cos[f|l] 和 sin[f|l] 函数会返回 NaN。

恐怕这不是一个非常正式的答案 - 只是对这个想法的“感觉”。我的理解是，这种行为还有其他充分的理由，例如在复杂分析中使用分支切割。

【讨论】：