2的大指数之和答案

【问题标题】：Sum of large exponents of 22的大指数之和
【发布时间】：2016-08-15 01:45:22
【问题描述】：

我正在尝试完成来自hackerrank.com 的编码挑战

Shashank 是一个数学新手，知道给定的基数 N 的 l 有 (2^N - 1) 个非空子列表后，他非常兴奋。他记下给定集合 A 的所有非空子列表。对于每个子列表，他计算 sublist_sum，它是元素的总和，并用 S₁、S_{2 表示它们sub>, S₃, ... , S_(2^N-1).}

然后他定义了一个 special_sum，P。

P = 2^S₁ + 2^S₂ + 2^S₃ .... + 2^{S_(2^N-1)} 并报告 P % (10^9 + 7)。

OUPUT 打印 special_sum，P 模 (10^9 + 7)。

我几乎可以肯定我误解了提示，但我的程序旨在接收数字列表。程序会将此列表的所有组合（不重复，顺序无关紧要，所有大小）的 2 提高到幂，然后将它们加在一起并打印出来。

网站上的例子是

列表 1, 1, 2 输出 44

说明

{1} 和 2^1 = 2

{1} 和 2^1 = 2

{2} 和 2^2 = 4

{1,1} 和 2^2 = 4

{1,2} 和 2^3 = 8

{1,2} 和 2^3 = 8

{1,1,2} 和 2^4 = 16

所以总数将是 44；

我对仅将指数相加的理解是错误的，因为答案远大于第一个测试用例中的预期答案（显然）。

输入 422 412 417 497 284 输出 67920854

基本上，我希望有人解释提示。我想我只是在计算部分总和，但我不知道什么时候或我想mod 10^9 + 7。

仅供参考，我只完成了代数 II，所以如果我错过了一个数学概念，请在向我解释时记住我的经验。我一直在用 C++ 编程，所以首选该语言的代码示例。

代码我可怜的解决方案：http://pastebin.com/c7YxCLMt

【问题讨论】：

"解释提示。"什么？我可以向你保证，2 的 422 次方将比 67920854 大得多。这个问题的第一部分相当清晰；但是在它中途掉下悬崖......完全省略minimal reproducible example也没有帮助。
对不起。我真的不知道该转向哪里。我的问题是概念性的，所以我的源代码没用。我将添加完整的提示
不幸的是，stackoverflow.com 不用于讨论概念问题。但是，更确切地说，是针对特定的技术问题和答案。
部分挑战在于弄清楚如何理解问题。 2^422 是一个非常大的数字。您无法使用简单的操作来计算它。因此，挑战在于看看您是否可以弄清楚如何“重构数学”，以便您可以提供一个简单的计算解决方案。 如果其他人为您解决问题，这将不是您的挑战。 ;)
sum 的模是模的和。 (4 + 4) mod 3 = 2 = 4 mod 3 + 4 mod 3。所以你只知道如何从 2^N mod XXX 计算模数，然后求和，这是一个简单的问题

标签： c++ algorithm algebra

【解决方案1】：

没有看到您的尝试，很难说可能是什么缺陷，但有两件事可能是陷阱：

你提到你应该mod 10^9 + 7，但确保你在做mod (10^9 + 7)
您正在计算的数字（2^497、2^284 等）巨大而且肯定会溢出。如果你还没有处理这个问题，你可以通过尝试他们正在做的事情来改进你的尝试here。

编辑：查看您的代码后，您确实遇到了溢出问题。将here 的想法融入您的解决方案将使您受益。

【讨论】：

【解决方案2】：

问题本质上是：给定一个数字列表，找到一个或多个元素的所有可能乘积的总和，其中列表不是给定的列表，而是这些幂的两个。例如，您的示例是 {2, 2, 4} 中的一项或多项的乘积之和。

我们可以通过查看 0 个或多个元素的乘积之和来进一步简化此过程，然后为我们不想要的空乘积减去 1。这使您可以使用一个巧妙的技巧：对于列表中的每个元素，您将乘以 1 或乘以数字。因此，对于列表 {2, 2, 4}，总和为 (2+1)(2+1)(4+1) = 3*3*5 = 45，答案为 45 - 1 = 44。

这是 PARI/GP 中的一些工作代码。

specialSum(v, m=10^9+7)=lift(factorback(apply(n -> Mod(2,m)^n+1, v))-1)

用法：

specialSum([1,1,2])
specialSum([422,412,417,497,284])

【讨论】：

这对问题中的另一组数字有效吗？ 422 412 417 497 284?
@smac89 是的。请记住，按照我第一段中的描述，首先将这些数字提高到 2 的幂。
@MyLoneTrojan 尽可能简单：对于每个数字 n 计算 2 的 n 次方加一。将所有这些数字相乘并减去 1。
@MyLoneTrojan 但您可能首先需要知道如何计算模加法、乘法和求幂。如果没有，您将有大量的数据需要处理，这可能需要更多的努力。
@MyLoneTrojan 添加 1 包括或不包括每个因素。如果您展开 (2+1)(2+1)(4+1) 您将得到 8 个产品，并且您试图获得除最小的产品之外的所有产品的总和，即 1。减去 1 即可那个。请参阅我的第二段。

【解决方案3】：

基于上面的cmets，我想你对这些算法在线评委不是很熟悉。它们与现实生活中的应用程序不同，它们通常具有极端约束，迫使您使用一些巧妙的技巧及时处理它。（通常约 1 秒）

对于这个问题，问题可以分为两部分：

当N <= 10^5 时，如何及时求和N^2 整数？（1 秒内）
如何及时计算2^x % M where x <= 10^5*10^10 = 10^15？（1 秒内）

当然，在这个过程中，你不能让任何变量溢出，这就是为什么问题要求你输出答案 MOD 10^9 + 7 （我假设你知道模运算的基本性质.)

对于第 1 点，答案是，你不能。我想暗示的是，有一些方法可以在不求和 N^2 的情况下计算答案项目。我可以根据我接受的解决方案给你一个提示：动态编程，让 DP(N) = 数组 [0..N] 中的项目所需的总和。如果你能制定出DP递归式，你只需将N个整数相加就可以得到答案，可以及时计算出来。

对于第 2 点，您不能进行任何简单的线性预计算（使用 for 循环和上一次迭代的两倍等）。通过使用上面提到的DP，你只需要计算2^x % M where x <= 10^10，如果你这样做，内存和运行时间约束仍然会失败。这里你需要另一个叫做Exponentiation by squaring 的技巧，它可以在O(lg n) 中计算2^n，因此可以接受。

结合第 1 点和第 2 点，您可以通过 动态规划 和 平方求幂（以及介于两者之间的一些基本模运算）来解决这个问题。

【讨论】：