按位与 (&) 运算符执行什么数学函数 (JS)？答案

【问题标题】：What mathematical function does bitwise AND (&) operator do (JS)?按位与 (&) 运算符执行什么数学函数 (JS)？
【发布时间】：2017-12-13 21:04:43
【问题描述】：

一点上下文，当我试图解决 javascript 问题以查找所有可能的子集时，我正在查看另一篇 SO 帖子。我不是问 JS 挑战，而是问它为什么会出现，它有什么数学意义？

这里是this SO post的代码复制粘贴

var arr = [1, 2, 3];

function generatePowerSet(array) {
  var result = [];
  result.push([]);

  for (var i = 1; i < Math.pow(2, array.length); i++, result.push(subset))
    for (var j = 0, subset = []; j < array.length; j++)
      if (i & Math.pow(2, j))
        subset.push(array[j]);

  return result;
}

console.log(generatePowerSet(arr));

我不明白if (i & Math.pow(2, j)) 行正在完成什么。 mozilla doc 表示它对每个位对执行 AND 比较。为什么相关？

当我说相关时，我的意思是，例如使用 LEFT SHIFT，执行 a << b 和b 是1，则它的等效数学函数乘以2。在这种情况下，我不明白 & 的数学函数是什么。

【问题讨论】：

这是一个数学AND，来自布尔代数。并非所有数学都是基于算术的。
我认为输入和运算结果之间没有任何有助于理解的数学关系。只需查看位模式即可。

标签： javascript bitwise-operators

【解决方案1】：

当 i 中的第 j^th 位为 1 时，表达式i & Math.pow(2, j) 给出一个非零值（从最低有效位开始计数，即 0th 位）。

这可以通过示例得到最好的解释。假设 i 在某个时刻是 10；二进制：1010。现在让 j 为 0。然后：

     i & Math.pow(2, j)
 ==  10 & Math.pow(2, 0)
 ==  10 & 1
 ==  0b1010 & 0b0001
 ==  0b0000

第二个值 (0b0001) 的作用是过滤：它从第一个值中过滤掉一个位。看看当 j 为 1 时会发生什么：

     i & Math.pow(2, j)
 ==  10 & Math.pow(2, 1)
 ==  10 & 2
 ==  0b1010 & 0b0010
 ==  0b0010

if 条件对于 j 的这个值将因此为真。

由于 i 有两个 1 位，因此对于 i 的特定值，if 条件将有两次为真。

【讨论】：

【解决方案2】：

让我们看一个递增一的按位计数器：

 0 -> 000
 1 -> 001
 2 -> 010
 3 -> 011
 4 -> 100
 ...
 7 -> 111

如您所见，如果我们想象 1 为真而 0 为假，它实际上会生成所有可能的 4 个布尔组合。所以它实际上非常适合生成一个powerSet。我们只需要一个计数器 (i) 来处理这些值，然后我们需要将布尔值转换为数组元素。为此，我们需要从左到右遍历它

 for (var j = 0, subset = []; j < array.length; j++)

并检查是否检查了一个布尔值（位）

if (i & Math.pow(2, j))

如果是这样，我们将该数组索引处的元素包含到结果中。

【讨论】：

【解决方案3】：

& 是按位 AND 比较。它的作用是逐位比较两个数字的二进制表示。

在您的示例中，1、2 和 3 以二进制形式表示为 01、10 和 11。因此，1 & 2 = 01 & 10 = 0。同样，1 & 3 = 01 & 11 = 01 = 1。

if (i & Math.pow(2, j)) 行正在对 i & 2^j 进行此比较。

【讨论】：

【解决方案4】：

那篇文章是关于生成集合的所有子集的。以[1, 2, 3] 为例。

现在让我们看看你拥有的代码：

for (var i = 1; i < Math.pow(2, array.length); i++, result.push(subset))

i 的值从1 循环到2^Length_Of_Set，在我们的示例中为2^3 = 8。

这里是从1 到8 的数字的二进制值：

如果我们说，每个3 位代表我们原始集合中的值，如果它是1，那么让我们将它包含在子集中。这意味着上面的7 二进制值代表了我们原始集合的所有可能子集。

两个数字之间的逻辑AND 运算会导致它们的二进制表示之间进行按位相乘：

1 & 2^0 = 001 * 001 = 001 (0*0, 0*0, 1*1)
2 & 2^0 = 010 * 001 = 000 (0*0, 1*0, 0*1)
...
7 & 2^2 = 111 * 100 = 100 (1*1, 1*0, 1*0)

所以，再次回到关于子集的原始帖子 - 第一个循环产生 0 和 1 的所有可能组合，固定长度为 n，等于我们集合中的元素数量。

第二个循环产生2^k 值，等于：

其中k 是我们原始集合中元素的索引。

这个2^k 乘以第一个循环产生的组合，使用& 或AND 操作，给我们一个简单的结果，即索引k 处的元素是否应该包含在最终子集中。

【讨论】：

【解决方案5】：

在二进制中，任何 2 的幂都只是一个 1 后跟零。简要说明：

2^0: 1
2^1: 10
2^2: 100

等等。

另外，如你所知，A 的幂集是 A 的所有子集的集合。方便的是，如果 A 有 n 个元素，那么 A 的子集可以用 n 位表示，其中每个位对应一个元素A. 如果位为 1，我们包含该元素，如果不是，我们不包含。

所以要得到一个幂集，如果我们可以遍历从 1 到 2^n 的每个数字，并相应地创建子集。所以我们只需要一种方法来根据给定的数字生成子集。

所以行：

// get each number from 1 -> 2^n. These represent each subset.
for (var i = 1; i < Math.pow(2, array.length); i++, result.push(subset))
  // Now we need to see which elements of the original array
  // go into this subset. So we check each one individually:
  for (var j = 0, subset = []; j < array.length; j++)
    // And finally, we only put this item in the subset if
    // the bit at index we are at is 1.
    if (i & Math.pow(2, j))
      subset.push(array[j]);

关键点是我们应该仅在同一索引的位为 1 时才包含该元素。所以要做到这一点，我们使用按位运算符。现在，我们知道在二进制中，除了第 j 个位置的单个 1 之外，2^j 都是零。因此，如果您将其与i 本身按位与，则如果i 的第 j 个位置的位为 0（假），则结果将全为 0，否则为 2^n（真）。

所以 TL;DR：

(i & Math.pow(2, j))

当且仅当数字 i 的二进制表示的第 j' 位为 1 时为真。

【讨论】：