以左移操作为例，
5 << 1 = 10
10 << 1 = 20
然后可以建立一个数学方程，
n << 1 = n * 2.
如果存在左移运算的方程，
那么有没有可能还有一个
数学方程 AND 操作？
或任何其他位运算符？
【问题讨论】：
标签： c math bitwise-operators
没有直接的单个操作可以映射到每个位操作。但是，它们都可以通过迭代方式（或一个非常长的公式）来模拟。
(a & b)
可以通过：
(((a/1 % 2) * (b/1 % 2)) * 1) +
(((a/2 % 2) * (b/2 % 2)) * 2) +
(((a/4 % 2) * (b/4 % 2)) * 4) +
...
(((a/n % 2) * (b/n % 2)) * n)
其中 n 是 2 到 A 和 B 组成的位数减一。这假设整数除法（余数被丢弃）。
【讨论】：
这取决于您所说的“数学方程式”是什么意思。没有简单的算术。
如果您从正式的数论角度来看，您可以仅使用加法、乘法和来描述按位“与”（以及“或”和“异或”） strong>——从外行的角度来看，这是一个相当大的“与”——一阶谓词逻辑。但这肯定不是您的意思，尤其是因为这些工具足以描述计算机可以做的任何事情。
【讨论】：
除特定情况外，无法在其他数学运算中描述位运算。
2n-1 的与运算与 2n 的模运算相同。与 2n-1 取反的与运算可以看作是除以 2n、截断和乘以相同。
【讨论】：
这取决于您所说的“数学”是什么意思。如果您正在寻找简单的学校代数，那么答案是否定的。但数学并不是神圣的——数学家一直在定义新的运算和概念。
例如，您可以将 32 位数字表示为 32 个布尔值的向量，然后对它们定义“与”运算，在其对应元素之间执行标准布尔“与”运算。
【讨论】：
这是一个证明，对于 2 位按位运算，您不能用
只是 + - 和 * （检查一下，现在才想出来，所以，谁知道）：
问题是，我们能找到一个多项式
x & y == P(x, y)
在哪里
P(x, y) = a0_0 + a1_0*x + a0_1*y + a2_0*x^ + ...
这就是它的样子：
0 1 2 3
--------
0| 0 0 0 0
1| 0 1 0 1
2| 0 0 2 2
3| 0 1 2 3
首先，很明显a0_0 == 0。接下来你可以看到如果P 是
重写：
|------- Q(x, y) --------|
P(x, y) = xy*R(x,y) + a1_0*x + a0_1*y + ...
y 保持为 0，而x 在 0、1、2、3 上变化；那么 Q(x, y) 必须为 0
这些值中的每一个。同样，如果 x 保持 0 并且 y 变化。所以Q(x, y)
在不失一般性的情况下可以设置为 0。
但是现在，由于P(2, 2) = 2，然而2 * 2 == 0，多项式P 不能
存在。
而且，我认为这也可以推广到更多位。
所以答案是，如果您只查找 +、* 和 -，不，您不能这样做
它。
【讨论】：
x & y 是x 和y 中的多项式。那么，特别是x & 1 将是x 中的多项式。但那不可能，因为它有无数个零，但又不是全零。
是的，它们是总和。考虑一个长度为 n 的二进制字。可以写成如下； A=a0*2^0+a1*2^1+a2*2^3....an*2^n。其中 an 是 {0,1}
的元素因此，如果 an 在 A 中是一个位，而 bn 在 B 中是一个位，那么； AandB=a0*b0*2^0+a1*b1*2^1...an*bn*2^n 相似地 AxorB=(a0+b0)mod2*2^0+(a1+b1)mod2*2^1...+(an+bn)mod2*2^n
现在考虑身份； Axor1=notA
我们现在有了我们需要的三个运算符（位与、位异或和位非）
从这两个我们可以制作任何我们想要的东西。
例如，按位或
不是[(notA)and(notB)]=not[not(AorB)]=AorB
虽然不保证漂亮。
对于关于 mod2 算术不是很基本的评论，从某种意义上说，这是对的。然而，虽然由于计算机的普及，它很普遍，但我们在这里触及的整个主题并不是特别“基本”。 OP已经掌握了一些基本的东西。在称为“抽象代数”的数学领域中研究了有限代数结构，例如加法和乘法模 n（其中 n 是某个数字，例如 2、8 或 2^32）。还有其他使用二元运算的结构（加法是二元运算，它需要两个操作数并产生结果，乘法和异或也是如此），例如异或，位移等，它们与加法和乘法“同构”在整数 mod n 上。这意味着它们的行为方式相同，它们是关联的、分配的等（尽管它们可能是交换的，也可能不是交换的，想想矩阵乘法）很难告诉某人从哪里开始寻找更多信息。我想最好的方法是从一本关于形式数学的书开始。（数学证明）你需要它来理解任何高等数学课本。然后是关于抽象代数的文本。如果你是计算机科学专业的，你会在课堂上学到很多。如果你是数学专业的，你会及时深入研究这些东西。如果你是历史专业的，我不敲历史，我是历史频道的瘾君子，但你应该转专业，因为你浪费了你的才华！
【讨论】：
x AND y 是否映射到某种数学恒等式，例如 x LEFT SHIFT 1 映射到 x * 2，还是有任何其他类似的映射。