如何处理不适合任何语言数据结构的大整数答案

【问题标题】：How to work on big integers that don't fit into any of language's data structures如何处理不适合任何语言数据结构的大整数
【发布时间】：2011-04-04 21:00:54
【问题描述】：

我正在尝试解决编程竞赛的初步问题，其中 2 个问题我必须计算并打印一些非常大的整数（如 100！、2^100）。

我还需要一种快速的方法来计算这个大整数的幂。

你能给我一些算法或数据结构的建议吗？（顺便说一句，我阅读了 C 接口和实现的“任意精度算术”部分，但它对 pow() 没有帮助）

编辑：我认为通过平方方法和位移的幂运算可以提高功率，但我还需要一种快速的方法来计算这个整数的阶乘。谢谢。

EDIT2：对于那些感兴趣的人；

找到包含长度为 N 的所有位串的最短位串长度（对不起我的英语，我会举个例子）。 N

例如，包含所有长度为 2(00, 01, 10, 11) 的位串的最短位串长度为 5(11001)。

我对这个问题的解决方案是 2^n + n - 1。（所以我应该计算 2 的幂，我想我会使用位移）

另一个问题是，给定 2 个长度，找出有多少种不同的方法可以达到长度 N。例如，输入是 10、2、3。那么你应该用 2 和 3 达到 10（例如, 2+2+2+2+2, 2+2+3+3, 3+2+2+3, 3+3+2+2...)。 1

我的解决方案是 2x + 3y = N，所以 x = (N - 3y) / 2 。对于从 0 到 2*N / 3 的 y，如果 x 是整数，那么我应该计算这个 X 和 Y 的广义排列，总计 += (x+y)！ / (x!*y!)。

【问题讨论】：

什么是最大参数（100 个或更多？）以及计算答案需要多长时间？
问题不同，但我必须计算 2^10000 和 100！解决。时间限制为 1 秒，内存限制为 256mb。如果你有兴趣，我可以翻译这个问题。可能有另一种解决方案，但它写在问题文本中，答案大于 64 位。
Unsigned Long Long Won't Go Beyond The 93th Fibonacci Number? 的可能重复项
约束非常小。因此，您可以通过平方进行求幂，如下所述，并找到阶乘，然后乘以 1、2、...、100。如果您以数字方式存储数字，那么您需要的只是将长数乘以 int和两个数字的乘法。您可以在我的答案中看到代码。

标签： c algorithm data-structures biginteger arbitrary-precision

【解决方案1】：

对于带有整数的pow，exponentiation by squaring

【讨论】：

对于 2^100，带进位的左移是更明智的选择。打印结果是困难的部分......
基数二肯定是个特例！
@larsmans 你能给我一些关于以 2 为底和左移方法计算幂的例子或链接吗？
左移 1 表示乘以 2。左移 n 表示乘以 2^n。 2^100 只是一个 uint64_t 设置了第 36 位，后跟一个为 0 的 uint64_t。
@larsmans，谢谢，我不知道uint64_t，但我认为通过平方方法进行移位或取幂会起作用..

【解决方案2】：

要计算幂，请使用二分法算法，该算法使用指数的二进制表示并减少结果乘法次数。数据结构只是一个整数数组

【讨论】：

这是一个编程竞赛，所以我必须编写我的解决方案（我不能使用 gmplib）。二分算法是什么意思？我查看了维基百科，发现了二分法搜索。
在下一个答案中，Doug Currie 给出了链接 en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring 和该算法的专有名称

【解决方案3】：

你可能想看看加密程序的实现（尤其是我首先想到的 GnuPG）。原因是加密函数也使用非常大的整数（所谓的 MultiPrecision Integers - MPI）。这些 MPI 的存储方式是，前 2 个字节说明整数的大小，后面的字节说明如何存储值。

GPG 是开源的，看看就知道了 :)

【讨论】：

谢谢，我认为像 GPG 这样的库对我来说太先进了，但我会给它一个机会。

【解决方案4】：

使用GMP 处理这些问题。它内置了阶乘支持和强大的功能等。它具有 C 和 C++ 接口等。您将需要 mpz_t 作为包含非常大整数的类型。

【讨论】：

【解决方案5】：

对于 C 语言，this 之类的东西可以使用，或者使用 int 或 char 数组自行滚动，数组中的一个点代表一个数字。 [1 | 0 | 1] 或 ['1'|'0'|'1'] 用于 101 等。

【讨论】：

【解决方案6】：

您可以按以下格式存储数字：该数字的位数和数字数组。这是编程竞赛中处理大量数字的常用方法。

这是一个提供数字和乘法存储的类。可以添加数字的输入和输出，这是微不足道的。

class huge {
public:
    int size;
    int data[1000];

    friend void mul(const huge &a, int k, huge &c) {
        c.size = a.size;
        int r = 0;
        for (int i = 0; i < a.size; i++) {
            r += a.data[i] * k;
            c.data[i] = r % 10;
            r = r / 10;
        }
        if (r > 0) {
            c.size++;
            c.data[c.size - 1] = r;
        }
        while (c.size > 1 && c.data[c.size - 1] == 0)
            c.size--;
    }

    friend void mul(const huge &a, const huge &b, huge &c) {
        c.size = a.size + b.size;
        memset(c.data, 0, c.size * sizeof(c.data[0]));
        for (int i = 0; i < a.size; i++) {
            int r = 0;
            for (int j = 0; j < b.size; j++) {
                r += a.data[i] * b.data[j] + c.data[i + j];
                c.data[i + j] = r % 10;
                r /= 10;
            }
            if (r > 0)
                c.data[i + b.size] = r;
        }
        while (c.size > 1 && c.data[c.size - 1] == 0)
            c.size--;
    }
};

【讨论】：

+1，但您确实意识到“这个数字的位数和位数的数组”。不仅仅是为了编程竞赛……这也是 GMP 存储数字的方式。
当然，这是一种普遍的方法。但如果我没记错的话，GMP 将数字存储在 2 的幂的基数中。因此，内存使用率和速度得到了提高，但十进制格式的输入和输出变得复杂。在这里，使用以 10 为底，这使得输出非常简单。

【解决方案7】：

基础数学可以做任何双精度与双精度的乘法...

def biginteger(num1, num2):
result = []
lnum1 = len(num1)
lnum2 = len(num2)

k = x = remainder = 0
while len(result) < lnum1:
    result.append(0)
for i in range(lnum1, 0, -1):
    multiplier = int(num1[i - 1])
    for j in range(lnum2, 0, -1):
        temp = (int(num2[j - 1]) * multiplier) + remainder + int(result[k])
        result[k] = str(temp % 10)
        remainder = temp / 10
        k += 1
    result.append(str(remainder))
    if remainder != 0:
        remainder = 0
    x += 1
    k = x

return ''.join([result[i - 1] for i in range(len(result), 0, -1)])

num1 = '37234234234234'
num2 = '43234234234232'
print biginteger(num1, num2)

【讨论】：