4))？

【问题标题】：Why is the runtime of this algorithm (n^2)*(n^2 + 1)/2(i.e. O(n/4))?为什么这个算法的运行时间是 (n^2)*(n^2 + 1)/2(即 O(n/4))？
【发布时间】：2016-11-13 18:42:46
【问题描述】：

所以，我的导师给我们的一个问题让我们找到了这个算法的运行时间：

{n > 0}
    i := 1;
    while i ≤ n^2
    j := 1;
    while j ≤ i
        j := j + 1;
    endwhile
    i := i + 1;
endwhile

在解决方案中，这里的运行时是 n^2(n^2 + 1)/2，即Θ(n^4)。

所以，我知道第一个 while 循环的运行时间是 n^2，但为什么第二个循环的运行时间是 (n^2 + 1)/2。

提前感谢您的帮助。

【问题讨论】：

标签： algorithm performance runtime

【解决方案1】：

第二个循环被执行i 次。

因此，如果 i 从 1 变为 n^2，则运行时为

1 + 2 + 3 + ... + n^2

现在注意

1 + 2 + ... + k = k*(k+1)/2

因此，如果您将k 替换为n^2，您将获得n^2*(n^2+1) 中的运行时。我想正确的身份是：

{n > 0}
    i := 1;
    while i ≤ n*n
      j := 1;
      while j ≤ i
        j := j + 1;
      endwhile
      i := i + 1;
endwhile

【讨论】：

这真的很有意义。因此，如果我要查看内部循环，它会从 1 变为 n^2，因为循环首先执行一次，然后执行两次直到 n^2。总和给我们 n^2(n^2 + 1)。非常感谢，伙计。注意：这就是我的意图，我现在对其进行了编辑，感谢您指出。