哪个算法函数的增长更快，O(n^2) 或 O(n^2*log(n))，为什么？答案

【问题标题】：Which algorithmic function is faster in its growth ,O(n^2) or O(n^2*log(n)) and why?哪个算法函数的增长更快，O(n^2) 或 O(n^2*log(n))，为什么？
【发布时间】：2020-07-07 11:28:31
【问题描述】：

我将 n 的随机值 1、2、4、8、16、32 和 64 应用于函数 (n^2) 和 ((n^2)*log(n))。n 的值^2 高于 ((n^2)*log(n)) 的值，但在某些时候 ((n^2)*log(n)) 的值超过了 (n^2) 的值。数值表是：

      n     n^2       (n^2 *log(n))
      1     1          0
      2     4          1.2
      4     16         9.6
      8     64         57.79
      16    256        308.25
      32    1156       1541.27
      64    4096       7398.11

从上表中，可以得出哪个算法函数的增长速度更快的结论，为什么？

【问题讨论】：

А 愚蠢的例子：看看n 和10 + log n。对于 n ≤ 11，n < 10 + log n。不过，从 n→infinity 来看，n 的速度要快得多。
对于那些 log(n)
我理解你的论点，即 10+log(n) 比 n 快。在这种情况下，log n 乘以 n^2，并将其值与 n^2 进行比较。您注意到的是 n^2 的值在某些时候被 (n^2)*log n 的值超过。但是，n^2 的值连续高于 ((n^2)*log(n)) 并不一致。什么时候会选择比另一个增长更快的算法函数？
@tobias_k 我使用以 2 为底的对数
不，一定要以 10 为基数。

标签： algorithm function calculus

【解决方案1】：

复杂性分析通常关注渐近行为，因为我们通常只在进行大型计算时才关心性能（小问题规模的低效计算不是典型的研究对象）。

鉴于此，小输入的行为通常被忽略，我们说一个函数从上面渐近约束 (f = O(g))，这意味着如果最终总是如此，f 的增长速度不会快于 g。

显然，n^2 log(n) 最终总是大于 n^2，因为 log(n) 最终假定任何对数底的值都大于 1，之后 n^2 log(n) 总是大于比n^2。确实，对于小于对数底的值，它的值更小，但这样的输入大小永远不会是少数。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果log是以10为底的对数，那么log(10)=1，即n^2*log(n)>n^2代表n>10。这也适用于所有其他对数底数，即 n^2*log(n,b)>n^2 代表 n>b 如果 log(n,b) 是 n 与底数 b 的对数。

【讨论】：

【解决方案3】：

对于一些小的值，n^2 比 n^2*logn 快的原因是 log_b(n) for all n 。您似乎在使用 log₁₀，因此该点位于 8 和 16 之间。

  n  n^2  logn  n^2*logn
------------------------
  1    1  0.00     0.00
  2    4  0.30     1.20
  4   16  0.60     9.63
  8   64  0.90    57.80  ^^^ logn < 1
 16  256  1.20   308.25  vvv logn > 1
 32 1024  1.51  1541.27
 64 4096  1.81  7398.11

之后，logn 大于 1 并继续增长（尽管越来越慢），这意味着对于所有更高的值，n^2*logn 比 n^2 更大且增长更快。对于 n 的一些小值来说它更小是无关紧要的，就像对于一些小输入来说，具有恒定复杂度的函数可能比指数函数慢。

【讨论】：

【解决方案4】：

我们想知道的是：log(n) 会大于 1 吗？

如果我们比较O(n²) 和O(n² log(n))，我们需要知道log(n) 是大于还是小于1。正如你所说，我正在考虑log(n) 作为底数2。

log(n) > 1   
n > 2^1
n > 2

在n > 2、log(n) > 1之后，表示O(n²) < O(n² log(n))代表所有n > 2。

【讨论】：

【解决方案5】：

你可以通过限制这两个来展示它：

lim_{n \to \infty} n^2 / (n^2 * log(n)) = lim_{n \to \infty} 1 / log(n) = 0

最后一步是因为log 函数是严格递增函数。因此，基于限制结果，这意味着n^2 = o(n^2 * log(n))（小哦），n^2*log(n) 的增长速度比n^2 快。

【讨论】：