如何降低在python中查找阶乘长度的程序的时间复杂度？

Question

我遇到了一个问题，我必须首先找到一个数字的阶乘，然后返回在阶乘中获得的位数。 我编写了程序，它运行良好。但时间是 5.0015 秒，我必须在 1 秒内完成。如何减少这种情况？

下面是我的程序：

def factorial(n):
    fact = 1
    for y in xrange(1,n+1):
        fact = fact * y
    return fact

t = int(raw_input())
raw_input()
for x in xrange(t):
    n = int(raw_input())
    print len(str(factorial(n)))

Answer 1

利用数学的力量，避免完全计算阶乘。

以 10 为底的对数是需要将 10 提高到等于该数字的幂。比如math.log10(10) == 1、math.log10(11) == 1.0413926851582251、math.log10(100) == 2等

这意味着严格大于一个数字的 log10 的最小整数（即 ceil(log10(n)) + (1 if log10(n).is_integer() else 0) ）是该数字的位数。

另外，log10(a * b) = log10(a) + log10(b)。

这意味着log10(factorial(n)) == sum(log10(a) for a in range(1, n+1))

最后，那个阶乘的长度是：

math.ceil(sum(math.log10(a) for a in xrange(1, n+1)))

（更多信息：http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm）

Answer 2

我建议使用Stirling's approximation for log(n!):

from math import ceil, log, pi

def log_fact(n):
    # using Stirling's approximation to calculate log10(n!)
    n = float(n)
    return (
        n * log(n)
        - n
        + log(2 * pi * n) / 2.
        + 1/(  12 * n   )
        - 1/( 360 * n**3)
        + 1/(1260 * n**5)
    ) / log(10)

猜测n 的值大约是 60000；测试我得到

import math
n = 60000

%%timeit
# @SheeshMosin
len(str(factorial(n)))                                 # 3.93 s

%%timeit
# @MaxNoel
math.ceil(sum(math.log10(a) for a in range(1, n+1)))   # 16.1 ms
                                                       # (250 times faster)

%%timeit
# @HughBothwell
math.ceil(log_fact(n))                                 # 3.62 µs
                                                       # (1.08 million times faster)

Answer 3

您可以尝试使函数递归。