2D 点，到 3D，然后回到 2D

Question

图 1： 我在 2d (CoreGraphics) 的图层上绘制贝塞尔曲线，我有 A 点和 B 点。

图2： 我可以将图层旋转大约 70 度。

图 3： 我想通过将图像从 3D 压缩回 2D 来了解 A 和 B 现在的点。

理想情况下我想做的是这样的函数：

-(CGPoint)calculateNewPointFrom:(CGPoint)p withAngle:(float)angle
{
    //Rotate point by angle in 3d space
    //Return new point in 2d space
}

欢迎大家帮忙。谢谢

Answer 1

如果你有一个点 Q 在 3D 中的坐标：(x, y, z)

并且您想将其投影到一个平面上，该平面包含一个点 P 并具有法线向量 n，

平面方程为

(R - P) . n = 0

我使用向量减法的地方，. 是点积。

由此您可以推断出任何点在该平面上的投影：沿着法线向量n 画一条线，直到它与平面相交。

所以会有一些价值a 这样

Q + a * n 

位于平面内，即

(Q - a * n - P) . n = 0

求解（注意n . n = 1）：

a = (Q - P) . n

（注意——这是从 Q 到 P 的“正常距离”；绝非巧合！）

它们相交点的值现在是

Q + ((Q - P) . n ) * n

再次注意 - 我正在使用向量数学，因此最后一个 *n 会产生三个值（因为 n 是 3D 向量）。

如果您尝试在平面上进行非法线投影（例如，您想投影到 XY 平面上，但您正在“查看某个角度”），您可以概括这一点。这种情况下，需要沿着不同的方向m（你看的方向）投影，相交的方程就变成了

Q + ((Q - P) . n ) * m / (m . n)

如你所见，如果 m 与 n 垂直（你是沿着平面看，而不是看它），没有解决方案...

您还可以看到，如果您直接在 XY 平面上进行投影，因此 n = [0 0 1])，整个事情简化为设置 Z=0

让我知道这是否足够，或者您是否需要实际的代码行...

--- 编辑 --- 添加一些简单的代码：

如果您有一系列点 (x, y) 来描述您的曲线，您可以通过以下方式围绕 Z 轴（垂直于您的平面）旋转角度 θ：

x1 = x * cos(theta) - y * sin(theta);
y1 = x * sin(theta) + y * cos(theta);

现在您可以通过简单地减少 y 坐标来“挤压”这些点，使您看起来像是从侧面看它们：

x2 = x1;
y2 = y1 * cos(alpha);

其中alpha 是您查看曲线的表观角度。因此，如果您直接向下看 XY 平面，alpha 为 0，y2 = y1。如果你看 45 度，alpha 是 pi/4 和 y2 = 0.707 * y1（大约）。

您可以将这两种转换组合成：

xnew = x * cos(theta) - y * sin(theta);
ynew = cos(alpha) * (x * sin(theta) + y * cos(theta));

尝试一些 theta 值（0 到 0.5 之间，以 0.1 为步长）和 alpha 值（类似的范围可能很好）。看看你是否喜欢这个结果。

也许这对您来说是一个更好（在“更有用”的意义上）的答案？