如何用 Eigen 库计算零空间的基础？答案

【问题标题】：How to compute basis of nullspace with Eigen library?如何用 Eigen 库计算零空间的基础？
【发布时间】：2016-01-07 18:51:52
【问题描述】：

如何利用特征库计算矩阵的零空间基数？

我试图找到 explicit function name 来计算 null 基础，并作为一种解决方法，找到 计算矩阵的 rref 的方法（因为我们能够从 rref 获取空基）。

但我找不到任何相关的函数名称。

我认为必须有解决方案，但我对 Eigen 库了解不多，而且 Eigen 的代码也很难理解。

请给我建议这个问题的解决方案。

【问题讨论】：

@OldProgrammer 您是否指出这不是编码问题？抱歉，我不明白你想指出什么。
您确定需要 rref 吗？你的实际问题是什么？线性最小二乘法？
@kchoose2 我想计算空空间的基础。不只是投射到零空间。

标签： c++ linear-algebra eigen

【解决方案1】：

您可以使用Eigen::FullPivLU::kernel() 方法获得空空间的基础：

FullPivLU<MatrixXd> lu(A);
MatrixXd A_null_space = lu.kernel();

【讨论】：

【解决方案2】：

FullPivLU 在 Eigen 中的计算成本最高，http://eigen.tuxfamily.org/dox/group__DenseDecompositionBenchmark.html。

更快的替代方法是使用 CompleteOrthogonalDecomposition。此代码使用矩阵的四个基本子空间（google 四个基本子空间和 URV 分解）：

Matrix<double, Dynamic, Dynamic> mat37(3,7);
mat37 = MatrixXd::Random(3, 7);

CompleteOrthogonalDecomposition<Matrix<double, Dynamic, Dynamic> > cod;
cod.compute(mat37);
cout << "rank : " << cod.rank() << "\n";
// Find URV^T
MatrixXd V = cod.matrixZ().transpose();
MatrixXd Null_space = V.block(0, cod.rank(),V.rows(), V.cols() - cod.rank());
MatrixXd P = cod.colsPermutation();
Null_space = P * Null_space; // Unpermute the columns
// The Null space:
std::cout << "The null space: \n" << Null_space << "\n" ;
// Check that it is the null-space:
std::cout << "mat37 * Null_space = \n" << mat37 * Null_space  << '\n';

【讨论】：

感谢您的回答 (+1)。你知道我们是否可以通过这种分解得到矩阵的图像（列空间）？
使用 MatrixXd = cod.matrixQ() 提取 Q 矩阵；并且前 r 列，其中 r 是秩（您可以使用 cod.rank() 提取它）是矩阵的列空间。
是的，我同时找到了方法：scicomp.stackexchange.com/q/36308/14840>。抱歉，我应该通知你的。
这不适用于复数（例如 std::complex），而接受的答案可以。任何人都可以提议对复杂矩阵进行编辑吗？
如果我们在MatrixXd V = cod.matrixZ().transpose(); -> MatrixXd V = cod.matrixZ().transpose().conjugate(); 行使用共轭，它似乎适用于复数。不确定，我们能否对此进行确认？

【解决方案3】：

替代方案：使用OpenCV计算零空间：

`
cv::Mat EpipolarConstraint::getNullSpace(cv::Mat p)
{
    cv::SVD svd = cv::SVD(p, cv::SVD::FULL_UV);
    cv::Mat vt_ = svd.vt;
    int i;
    for (i = 1; i <= 3; i++)
    {
        if (p.at<double>(i - 1, i - 1) == 0)
        {
            break;
        }
    }
    cv::Mat result = vt_(cv::Rect(0, i-1, p.cols, vt_.rows-i+1));
    cv::Mat result_t;
    cv::transpose(result, result_t);
    return result_t;
}`

【讨论】：