如何使用 Eigen 库计算矩阵的右核？

Question

我已经开始使用 Eigen 库实现算法。我需要计算矩阵的零空间（内核）。我尝试过使用立方体的矩阵，

0, 0, 1,   
0, 1, 0,   
1, 0, 0,   
-1, 0, 0,    
0, 0, -1,   
0, -1, 0

然后，我打电话给its source

A.transposeInPlace();
std::cout << "and after being transposed:\n" << A << std::endl;
FullPivLU<MatrixXf> lu(A);
MatrixXf A_null_space = lu.kernel();
std::cout << "Null space:\n" << A_null_space << std::endl;
A_null_space.transposeInPlace();
std::cout << "Null space Transposed_A:\n" << A_null_space;

我得到，

 0.5    0   -1    1    0    0    0    0    0  0.5
-0.5    0   -0    0    1    0    0    0    0 -0.5
 0.5    0   -0    0    0    1    0    0    0 -0.5
 0.5    0   -0    0    0    0    1    0    0  0.5
  -1    0    1    0    0    0    0    1    0   -1
-0.5    0    1    0    0    0    0    0    1 -0.5
-0.5    1   -0    0    0    0    0    0    0  0.5

但是，后来我意识到它的右内核和左内核是相同的，并且看起来代码 sn-p 计算左内核。代码在另一个测试用例上得到了疯狂的输出。那么，如何计算正确的内核？ The link 还通过示例显示左右内核的差异。但是，如果我删除第一行，则输出为 0 0 0

这个案子的明显问题是，

MatrixXf A{10, 3};
A <<
        1, 0, 1 ,
        1, 0, 0 ,
        0, 1, 1 ,
        0, 1, 0 ,
        0, 0, 1 ,
        -1, 0, 0 ,
        0, 0, -1 ,
        0, -1, 1 ,
        0, -1, 0 ,
        -1, 0, 1;

它的输出预期为，

 1  0  0  0  0  0  0 -2  2  1
 0  1  0  0  0  0  0 -1  1  1
 0  0  1  0  0  0  0 -1  2  0
 0  0  0  1  0  0  0  0  1  0
 0  0  0  0  1  0  0 -1  1  0
 0  0  0  0  0  1  0  1 -1 -1
 0  0  0  0  0  0  1  1 -1  0

QR 分解，

HouseholderQR<MatrixXf> qr(A);
    cout << "\nQR matrix to compare \n" << qr.matrixQR().transpose();

然后我明白了，

   -1.41421           0    0.414214
  -0.707107   -0.707107          -1
  -0.707107    0.707107           1
          0           0           1
  -0.707107    0.707107           0
   0.707107    0.707107           0
   0.707107   -0.707107           0
  -0.707107    0.707107          -1
          0           0          -1
1.19209e-07     1.41421 5.96046e-08

@Edit 2，Eigen计算错误吗？

Source

@编辑 3，

我真的很困惑，因为这两个矩阵看起来都是正确的！怎么会？

Answer 1

正如您所观察到的，这两个矩阵都是有效的右核。这是因为它们对应于 same 子空间的两个不同的基。要检查它，您可以将两个矩阵简化为简化的行梯形形式（matlab 中的 rref 函数，或参见此online calculator）。这种变换是唯一的，不会改变矩阵定义的跨度。您的参考内核基础已经采用这种形式。所以你所要做的就是减少 Eigen 返回的那个，看看它给你的矩阵和你的参考矩阵一样。