这个傅立叶变换实现有什么问题

Question

我正在尝试实现离散傅立叶变换，但它不起作用。我可能在某个地方写了一个错误，但我还没有找到它。

基于以下公式：

此函数执行第一个循环，循环 X0 - Xn-1...

    public Complex[] Transform(Complex[] data, bool reverse)
    {
        var transformed = new Complex[data.Length];
        for(var i = 0; i < data.Length; i++)
        {
            //I create a method to calculate a single value
            transformed[i] = TransformSingle(i, data, reverse);
        }
        return transformed;
    }

而实际计算，这大概就是bug所在。

    private Complex TransformSingle(int k, Complex[] data, bool reverse)
    {
        var sign = reverse ? 1.0: -1.0;
        var transformed = Complex.Zero;
        var argument = sign*2.0*Math.PI*k/data.Length;
        for(var i = 0; i < data.Length; i++)
        {
            transformed += data[i]*Complex.FromPolarCoordinates(1, argument*i);
        }
        return transformed;
    }

接下来解释其余代码：

var sign = reverse ? 1.0: -1.0; 反向 DFT 的参数中不会有 -1，而常规 DFT 的参数中确实有 -1。

var argument = sign*2.0*Math.PI*k/data.Length; 是算法的参数。这部分：

然后是最后一部分

transformed += data[i]*Complex.FromPolarCoordinates(1, argument*i);

我想我是仔细复制了算法，所以我看不出我在哪里犯了错误......

其他信息

正如 Adam Gritt 在他的回答中所表明的，AForge.net 对该算法进行了很好的实现。我大概可以通过复制他们的代码在 30 秒内解决这个问题。但是，我仍然不知道我在实施中做错了什么。

我真的很好奇我的缺陷在哪里，以及我解释错了什么。

Answer 1

我现在做复杂数学的日子已经过去了，所以我自己可能会错过一些东西。但是，在我看来，您正在执行以下操作：

transformed += data[i]*Complex.FromPolarCoordinates(1, argument*i);

什么时候应该更像：

transformed += data[i]*Math.Pow(Math.E, Complex.FromPolarCoordinates(1, argument*i));

除非你把它封装到方法 FromPolarCoordinates()

更新： 我在 AForge.NET Framework 库中找到了以下代码，它显示了正在执行的其他 Cos/Sin 操作，这些操作没有在您的代码中处理。此代码可以在 Sources\Math\FourierTransform.cs: DFT 方法的完整上下文中找到。

for ( int i = 0; i < n; i++ )
{
    dst[i] = Complex.Zero;

    arg = - (int) direction * 2.0 * System.Math.PI * (double) i / (double) n;

    // sum source elements
    for ( int j = 0; j < n; j++ )
    {
        cos = System.Math.Cos( j * arg );
        sin = System.Math.Sin( j * arg );

        dst[i].Re += ( data[j].Re * cos - data[j].Im * sin );
        dst[i].Im += ( data[j].Re * sin + data[j].Im * cos );
    }
}

它使用了一个自定义的 Complex 类（因为它是 4.0 之前的版本）。大多数数学运算与您实现的相似，但内部迭代正在对实部和虚部进行额外的数学运算。

进一步更新： 经过一些实现和测试，我发现上面的代码和问题中提供的代码产生了相同的结果。我还发现，基于 cmets，此代码生成的内容与 WolframAlpha 生成的内容之间有什么区别。结果的不同之处在于，Wolfram 似乎对结果应用了 1/sqrt(N) 的归一化。在所提供的 Wolfram Link 中，如果每个值都乘以 Sqrt(2)，则这些值与上述代码生成的值相同（舍入误差除外）.我通过将 3、4 和 5 个值传递给 Wolfram 对此进行了测试，发现我的结果分别与 Sqrt(3)、Sqrt(4) 和 Sqrt(5) 不同。根据 wikipedia 提供的Discrete Fourier Transform 信息，它确实提到了一种标准化，以使 DFT 和 IDFT 的变换成为单一的。这可能是您需要查看的途径以修改您的代码或了解 Wolfram 可能在做什么。

Answer 2

您的代码实际上几乎是正确的（您在逆变换中缺少 1/N）。问题是，您使用的公式通常用于计算，因为它更轻，但在纯理论环境（以及在 Wolfram 中），您将使用 1/sqrt(N) 的归一化来使变换成为单一的。

即你的公式是：

Xk = 1/sqrt(N) * sum(x[n] * exp(-i*2*pi/N * k*n))

x[n] = 1/sqrt(N) * sum(Xk * exp(i*2*pi/N * k*n))

这只是归一化中的一个约定问题，只有幅度会发生变化，所以你的结果还不错（如果你没有忘记逆变换中的 1/N）。

干杯