从外部点与圆相切.p答案

【问题标题】：Tangent to circle from external point.p从外部点与圆相切.p
【发布时间】：2014-01-13 08:50:43
【问题描述】：

我想画一个圆的两条切线，它的圆心（x1，y1）和半径（r）是已知的，切线穿过一个外部点（x0，y0），鉴于上述信息，我怎样才能找到这两条直线与圆的切点。提前致谢

附：我需要在 C++ 中执行此操作

【问题讨论】：

对不起，我无法发布图片以便更好地解释场景..
那么你知道几何，如何解决这个任务？事实上你知道斜边（你知道它的点）和cathetus（半径），这可以让你找到一个切点，然后你可以找到切线本身。如果你知道切线，你就可以画出来。
en.wikipedia.org/wiki/Thales%27_theorem
欢迎来到stackoverflow！这个问题更像是一道数学题，有一个很棒的问答网站：math.stackexchange.com
这个问题似乎跑题了

标签： c++ math opencv geometry

【解决方案1】：

在实践中计算切点的一些线索：

移动所有点以形成零中心圆 (P' = P0 - Center)
缩放以制作单位半径圆 (x^2+y^2=1, P = P'/R)
坐标的半径向量。切点的原点垂直于切线，因此它们的标量积为零：
```
x*(X-x)+y*(Y-y)=0
x*X + y*Y = x^2 +y^2 = 1    
y = (1 - x*X)/Y
```
将y代入圆方程，求解该二次方程为x，然后求y
```
x^2*(X^2+Y^2)+x*(-2X)+(1-Y^2)=0
```
恢复原始比例和偏移量

德尔福实现：

//finds tangent points to circle from external point (XX, YY)
//returns number of tangents (0, 1, 2)
function GetTangentPointsAtCircle(CenterX, CenterY, R, XX, YY: Double;
                                 var XT0, YT0, XT1, YT1: Double): Integer;
var
  nx, ny, xy, tx0, tx1, D: Double;
begin
  if R = 0 then //this behavior can be modified
    Exit(0);

  nx := (XX - CenterX) / R; //shift and scale
  ny := (YY - CenterY) / R;
  xy := nx * nx + ny * ny;

  if Math.SameValue(xy, 1.0) then begin //point lies at circumference, one tangent
    XT0 := XX;
    YT0 := YY;
    Exit(1);
  end;

  if xy < 1.0 then  //point lies inside the circle, no tangents
    Exit(0);

  //common case, two tangents
  Result := 2;
  D := ny * Sqrt(xy - 1);
  tx0 := (nx - D) / xy;
  tx1 := (nx + D) / xy;
  if ny <> 0 then begin //common case
    YT0 := CenterY + R * (1 - tx0 * nx) / ny;
    YT1 := CenterY + R * (1 - tx1 * nx) / ny;
  end else begin //point at the center horizontal, Y=0
    D := R * Sqrt(1 - tx0 * tx0);
    YT0 := CenterY + D;
    YT1 := CenterY - D;
  end;
  XT0 := CenterX + R * tx0; //restore scale and position
  XT1 := CenterX + R * tx1;
end;

【讨论】：

【解决方案2】：

虽然我同意这个问题离题并且应该关闭，但我还是会发布一个答案，因为它可能仍然有帮助。

这是我要做的：我将计算圆的polar line，您可以通过将matrix representation of the circle 与点的homogeneous coordinates 相乘获得，即(x0, y0, 1)。生成的向量 (a,b,c) 描述了一条线 {(x,y)|ax+by+c=0}，您可以将其与圆相交以找到切点。

以上不仅适用于圆圈，也适用于任意平滑conics。

【讨论】：