给定一个单位向量，找到使该向量与轴对齐的两个旋转角度

Question

所以我不太精通线性代数，所以我在努力解决这个问题。

我有一个单位向量v。我想找到两个角度（角度 1，围绕 x 轴旋转，角度 2，围绕 z 轴旋转），这样当我通过它们旋转 v 时，它会将矢量 v 与 y 轴对齐。从this 问题我有一个函数可以找到任意向量之间的角度并返回一个旋转。但是这个函数返回 3 个角度。本质上，有无限数量的 3d 旋转将v 与 y 轴对齐，所以我想要两个独特的角度。

这是我现在的代码，它需要 numpy 和 scipy：

import numpy as np
import random
from scipy.spatial.transform import Rotation as R

def rotation_from_unit_vectors(a, b):
    v = np.cross(a, b)
    c = np.dot(a, b)
    s = np.linalg.norm(v)
    kmat = np.array([[0, -v[2], v[1]], [v[2], 0, -v[0]], [-v[1], v[0], 0]])
    rotation_matrix = np.eye(3) + kmat + kmat.dot(kmat) * ((1 - c) / (s ** 2))
    return  R.from_matrix(rotation_matrix)


y_axis = np.asarray([0.0, 1.0, 0.0])

alpha = random.uniform(0, 10)
beta = random.uniform(0, 10)
gamma = random.uniform(0, 10)

v = np.asarray([alpha, beta, gamma])
v = v / np.linalg.norm(v)

r = rotation_from_unit_vectors(v, y_axis)
print(r.as_euler('xyz', degrees = True))
print(r.apply(v))

Answer 1

利用固定目标对齐，这可以通过三角函数以简单的方式完成：

import math

def to_y(x,y,z):
  rx=-math.atan2(z,y)              # or +math.atan2(z,-y)
  y2=y*math.cos(rx)-z*math.sin(rx) # -> (x,y2,0)
  return rx,math.atan2(x,y2)

从从 +x或+z（右手法则）看原点时，旋转定义为逆时针；旋转方向始终是具有较小幅度的方向，但可能会在评论中找到物理上的较小旋转。请注意，输入不需要归一化，并且永远不会产生 NaN（除非它出现在输入中）。

Answer 2

嗯，非标准问题，需要思考一下。

鉴于v1 和v2，您希望rotate_z(rotate_x(v1, alpha), beta) 与v2 处于同一方向。

我们知道对齐向量可以通过简单的缩放缩放v2得到，这将得到x1,y3,z3 = v3 = v2 * |v1| / |v2|。由于绕 z 轴旋转不会影响 z 坐标，我们可以确定 alpha 使得rotate_x(v1, alpha) 的 z 坐标等于z3。之后我们确定角度beta 以正确对齐X和Y坐标

import numpy as np
def alignment_angles(v1, v2):
    x1,y1,z1 = v1 # initial vector
    x2,y2,z2 = v2 # reference vector

    # magnitude of the two vectors
    r1 = np.sqrt(x1**2 + y1**2 + z1**2)
    r2 = np.sqrt(x2**2 + y2**2 + z2**2)
    # this will be the result when aligning v1 to v2
    # it has the magnitude of v1 and the direction of v2
    x3,y3,z3 = x2*r1/r2, y2*r1/r2, z2*r1/r2
    # the rotation in x must set the z coordinate to the
    # final value, since the rotation over the z axis will
    # not affect the z coordinate (this have two solutions)
    rho1 = np.sqrt(z1**2 + y1**2)
    if(abs(z3 / rho1) > 1):
        raise ValueError('Cannot align these vectors')
    alpha = np.arcsin(z3 / rho1) - np.arctan2(z1, y1);

    # apply the rotation to make easier to calcualte the next stage
    y1, z1 = (y1 * np.cos(alpha) - z1 * np.sin(alpha), 
              y1 * np.sin(alpha) + z1 * np.cos(alpha))
    np.allclose(rho1, np.sqrt(z1**2 + y1**2))
    #assert(np.allclose(z1, z3))
    # now it is just a matter of aligning (x1, y1) to (x3, y3)
    beta = np.arctan2(y3, x3) - np.arctan2(y1, x1)
    x1, y1 = (x1 * np.cos(beta) - y1 * np.sin(beta), 
              x1 * np.sin(beta) + y1 * np.cos(beta))
    
    # ensure the fotated v1 was correctly aligned
    assert(np.allclose([x1, y1, z1], [x3, y3, z3]))
    
    return alpha, beta

那你就打电话

alignment_angles((1,2,3), (3,4,5))

或者你也可以使用 3 行的 numpy 数组。

最初我认为这将是球坐标的应用，如果第二次旋转的轴是根据第一次旋转而旋转的 z 轴，情况就是这样。

编辑

有些向量无法与 x 上的旋转和 y 上的旋转对齐。 假设您要将向量v1 = (1, 0, 0) 与向量v2 = (0, 0, 1) 对齐，x 方向的旋转不会影响 v1，它始终指向 x 方向，那么当您围绕 z 轴旋转时，它将始终在 XY 平面上.

您给出的示例确实给出了错误的答案，因为asin 不是单射的。

当您无法对齐给定的向量时，我更改了函数以引发值错误。