计算 pi，得到与 book 不同的值答案

【问题标题】：calculation of pi, getting different value than book计算 pi，得到与 book 不同的值
【发布时间】：2015-10-12 04:48:36
【问题描述】：

数学常数 π (pi) 是一个无理数，其值约为 3.1415928... π 的精确值等于以下无穷和：π = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/ 7 + 4/9 - 4/11 + ... 我们可以通过计算前几项的总和来得到 π 的一个很好的近似值。编写一个函数 approxPi()，将浮点值误差作为参数，并通过逐项计算上述总和，直到当前总和与前一个总和之间的差值的绝对值（用少一项）不大于误差。一旦函数发现差值小于误差，它应该返回新的和。请注意，此函数不应使用数学模块中的任何函数或常量。您应该使用所描述的算法来近似 π，而不是使用 Python 中的内置值。

我已经完成了以下程序，但由于某种原因，我得到的价值与书中的不同。

def pi(error):
    prev = 1
    current = 4
    i = 1
    while abs(current - prev) > error:
        d = 2.0* i +1
        sign = (-1)**i
        prev = current
        current = current + sign * 4 / d
        i = i +1
    return current

output In [2]: pi(0.01)
Out[2]: 3.146567747182955

但是我需要得到这个值

>>> approxPi(0.01)
3.1611986129870506
>>> approxPi(0.0000001)
3.1415928535897395

【问题讨论】：

正如我在上一个问题stackoverflow.com/questions/33069677/find-the-value-of-pi 中发布的那样，我看不到error=0.01 如何返回3.1611 ...，3.1611986129870506 两侧的2 个值分别是3.121594652591011 和3.12236366153074。两者都不是
因为（正如@skyking 所写）在 x=pi/4 处评估的 arctan(x) 的 McLaurin 展开是交替和，因此收敛缓慢。您可以通过配对项将其转换为仅正数公式，但它仍会缓慢收敛。阅读任何其他更快收敛的总和。

标签： python series pi

【解决方案1】：

您使用的近似值在收敛方面非常差，也就是说，您必须循环很多次才能获得合理的值。您会看到差异将是 1/d，这就是准确性。您必须循环 5000 次才能获得四位数字 50k 次才能获得下一个数字，500k 次才能获得下一个数字，依此类推（这是数字的指数时间复杂度）。

这可能是您在此处看到差异的原因之一，您只是遇到了舍入误差相加的情况。由于您需要使用如此多的迭代，因此您永远不会接近您正在使用的浮点数的全部精度。差异的另一个来源是您的参考可能正在使用另一个退出条件，在您的条件下，您应该得到一个小于提供的错误（理想情况下），并且您已经得到它（3.146567747182955-pi abs(current-prev) > 4*error 条件。

您使用的公式是 pi=4arctan(1) 并使用 arctan(x) 的 McLaurin 展开得到完全处于收敛极限的 x 值。为了获得更好的性能，应该在该扩展中使用较低的 x。例如可以使用 pi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239) （这给出了数字的线性时间复杂度）：

def pi(error):
    a = 1.0/5
    b = 1.0/239

    prev = 1
    current = 0.0
    i = 0
    while abs(current - prev) > error:
        d = 2.0* i +1
        sign = (-1)**i
        prev = current
        current = current + sign * (16*a - 4*b)/d
        a = a*1.0/(5*5)
        b = b*1.0/(239*239) 
        i = i +1
    return current

【讨论】：

【解决方案2】：

我猜你的函数和 approxPi 的停止规则是不同的。事实上，你的估计更好。如果您打印出当前的所有值，您将看到当 i 等于 50 时，您的函数会产生您想要的输出。但是，它超越了这个范围并产生了更好的近似值。

【讨论】：

【解决方案3】：

因此，要获得您正在寻找的答案，那么提出的问题在描述退出条件的方式上是错误的。
重新组织得到 Pi = 4*(1/1 + 1/3 + 1/5 + ...)，得到 3.1611986129870506，误差为 0.01，然后查看后续项并在项

from itertools import count, cycle  #, izip for Py2
def approxPi(error):
    p = 0
    for sign, d in zip(cycle([1,-1]), count(1, 2)):  # izip for Py2
        n = sign / d
        p += n
        if abs(n) < error:
            break
    return 4*p

那么你会得到正确答案：

>>> approxPi(0.01)
3.1611986129870506
>>> approxPi(0.0000001)
3.1415928535897395

使用您的代码（来自@PaulBoddington：Find the value of pi）

def pi(error):
    prev = 0
    current = 1
    i = 1
    while abs(current - prev) > error:
        d = 2.0*i + 1
        sign = (-1)**i
        prev = current
        current = current + sign / d
        i += 1
    return 4*current

注意：这不是当前和之前的和的差，所以问题是错误的，但等于difference_between_sums < error*4。因此，要获得原始代码的正确退出，只需将错误乘以 4，例如：

>>> pi(0.04)
3.1611986129870506

【讨论】：