某种算法的大 O 表示法？

Question

我有以下算法来确定两个数字 x 和 y 的最大公约数。我需要找到描述该算法的大符号并解释原因，但我不知道如何做到这一点。

有人可以看看我的代码并解释一下它是什么类型的大哦符号吗？

     public void question1(int x, int y){
            ArrayList divisorx = new ArrayList(); //the list of divisors of number x
            ArrayList divisory = new ArrayList();//divisors of number y
            ArrayList answerSet = new ArrayList();//the common divisors from both   
            //divisorx and divisory

            for(int i=1; i<=x; i++){//this loop finds the divisors of number x and 
                                    //adds them to divisorx
                    double remainder = x%i;
                    if(remainder==0){
                        //i is a divisor
                        divisorx.add(i);
                    }
            }
            for(int i2=1; i2<=y; i2++){//this loop finds the divisors of number y 
                                       //and adds them to divisory
                    double remainder2 = y%i2;
                    if(remainder2==0){
                        //i2 is a divisor
                        divisory.add(i2);
                    }
            }
      int xsize = divisorx.size();
      int ysize = divisory.size();

            for(int i=0; i<xsize; i++){//this massive loop compares each element of 
        //divisorx to those of divisory to find common divisors. It adds those common
        //divisors to the arraylist answerSet
               for(int j=0; j<ysize; j++){
                   if(divisorx.get(i)==divisory.get(j)){
                       //common divisor has been found
                       //add it to an answer array

                       answerSet.add(divisorx.get(i));

                   }
                }
            }
    Collections.sort(answerSet);//sorts the answerSet from smallest to greatest

    Object gcd = answerSet.get(answerSet.size()-1);//get the last element of the
                                                   //arraylist, which is the gcd       
    System.out.print("Your Answer: "+gcd);//print out the greatest common divisor
 }

Answer 1

前两个循环分别花费 O(X) 和 O(Y)。

N 的因数为 O(sqrt(N))（参见 cmets），因此 xsize 和 ysize 分别为 O(sqrt(X)) 和 O(sqrt(Y))。

因此，您的最后一个循环需要花费 O(sqrt(X).sqrt(Y))。

answerSet 的大小为 O(min(sqrt(X),sqrt(Y)))，因为它是 divisorx 和 divisory 的交集。

你对 answerSet 进行排序，即 O(min(sqrt(X),sqrt(Y)) log(min(sqrt(X),sqrt(Y)))

所有这些都是 O(X+Y)，所以总复杂度是 O(X+Y)。

Answer 2

最大的复杂性是你拥有的两个嵌套的for循环。 Big O 是 order，表示它是相对于输入大小的复杂度。在这里，您的输入大小是您在线性时间内找到的除数数（每个 1 个 for 循环），意思是 n + n 或 O(n)。您示例中的排序通常具有n*log(n) 的平均复杂度。您的嵌套 for 循环是方形的，意思是 O(n^2)。您的订单就是O(n^2)，因为这是计算中最大的复杂度。我们在多项式表达式中取最大次数，将所有复杂性相加，所以O(n^2 + n*log(n) + 2n) 这是二次多项式，因此 ~ O(n^2)。

需要注意的是，顺序是空间和时间的复杂度较大。因此，如果内存使用复杂度大于计算复杂度，那么就会接管。

Answer 3

第一个循环正好完成X 次。
第二个循环 Y 次。
第三个循环肯定少于(X/2 + 1) * (Y/2 + 1) 次（因为一个数字N 最多可以有N/2 + 1 除数）。所以最坏的情况是O(XY/4) = O(XY)。
列表answerSet 的大小相同，最多可以有XY/4 元素。 最后排序在O(nlogn)（根据javadoc）中完成，也就是说，在你的情况下，O(XYlog(XY))。
所以最终的复杂度是O(X + Y + XY + XYlog(XY)) = O(XYlog(XY))。
如果你想只用一个通用的N来表达复杂性，那么它就是O((N^2)logN)，其中N = max(X, Y)。