对 sympy 数组求和

Question

我想使用两个索引 i 和 j 来总结一个 sympy Array（称为 arr）。对arr[i] 求和得到一个整数，如下图In [4] 所示。但是，对arr[j] 求和并不会给出一个数字作为结果（参见下面的In [5]）。这是为什么呢？

In [1]: from sympy import *

In [2]: i, j = symbols("i j", integer=True)

In [3]: arr = Array([1, 2])

In [4]: summation(
   ...:     arr[i],
   ...:     (j, 0, i), (i, 0, len(arr)-1)
   ...: )
Out[4]: 5

In [5]: summation(
   ...:     arr[j],
   ...:     (j, 0, i), (i, 0, len(arr)-1)
   ...: )
Out[5]: Sum([1, 2][j], (j, 0, i), (i, 0, 1))

Answer 1

SymPy 将评估总和，如果有的话

1. 求和和求和限制都是明确的；或
2. 它可以根据求和公式找到求和的符号表达式。

嵌套求和是从左到右执行的。在第一个版本中，

summation(arr[i], (j, 0, i))

属于第 2 项：由于 summand 不依赖于索引 j，因此 sum 的计算结果象征性地为 (i + 1)*arr[i]。那么外和就变成了

summation((i + 1)*arr[i], (i, 0, len(arr)-1))

这属于第 1 项：总和和限制都是明确的。

但在第二个版本中，

summation(arr[j], (j, 0, i))

既不适合1也不适合2。和取决于j，我们没有任何公式（只是一些数字[1, 2]），和求和的上限是象征性的。 SymPy 与这样的总和没有任何关系，因此它仍然未完成。随后，由于内部未完成，因此外部总和不会去任何地方。

解决方法

在第二种情况下，用 Python sum 替换外部 sum 会使内部 sum 显式化，因此会被计算。

>>> sum([summation(arr[j], (j, 0, i)) for i in range(len(arr))])
4

当然，这并没有真正使用 SymPy 的符号功能：内部总和也可以是 Python 的 sum。