理解一元函数组合

Question

我正在从“Learn You a Haskell for Great Good!”一书中学习 monad。米兰利波卡。我试图了解单子的结合律。从本质上讲，法律规定，当您拥有带有>>= 的一元函数应用程序链时，它们的嵌套方式无关紧要。

以下代码可以将a -> m b 类型的函数的结果传递给b -> m c 类型的函数：

(<=<) :: (Monad m) => (b -> m c) -> (a -> m b) -> (a -> m c)
f <=< g = (\x -> g x >>= f)

但是，对于下面的示例：

ghci> let f x = [x, -x]
ghci> let g x = [x*3, x*2]
ghci> let h = f <=< g
ghci> h 3
[9, -9, 6, -6]

f x 和 g x 都是函数吗？似乎它们是具有不同 x 值而不是函数的列表。 let h = f <=< g 行在上面的代码中是如何工作的？ f 和 g 必须是函数，因为它们与 <=< 一起使用，但我不确定它们是什么。

Answer 1

f x = [x, -x]

这是普通的函数定义语法。我们正在定义一个新函数 f，写下它在应用于假设值 x 时会产生什么。

let（无论是作为语句还是let ... in ... 表达式）只是引入了一个可以进行定义的块，就像where。定义本身使用与全局相同的语法。

如果您知道如何通过编写来定义函数，例如plusOne n = n + 1 在一个文件中，那么这个语法是完全一样的（如果你不知道怎么做，那么我建议在你尝试理解单子函数组合之前阅读一些关于基本 Haskell 语法的介绍性教程）。

所以在这些定义之后 f 和 g 是函数。 f x 和 g x 没有任何意义，因为您没有 x 在范围内应用它们。

如果您在范围内确实有这样的值，那么f x 将是一个计算结果为列表的表达式，其中涉及调用函数f。说f x 或g x 是函数仍然是不正确的。

所以现在应该清楚let h = f <=< g 正在通过将<=< 运算符应用于f 和g 来定义一个新值h。

Answer 2

没有什么比在一张纸上手工完成定义更能获得理解的感觉了。

f x = [x, -x]也可以写成f = (\ x -> [x, -x])。因此

  h 3 
= {- by def of h -}
  (f <=< g) 3 
= {- by def of (<=<) -}
  (\x -> g                   x >>= f               ) 3
= {- by defs of f and g -}
  (\x -> (\ x -> [x*3, x*2]) x >>= (\ x -> [x, -x])) 3
= {- by substitution -}
         (\ x -> [x*3, x*2]) 3 >>= (\ x -> [x, -x])
= {- by substitution -}
                 [3*3, 
                  3*2]         >>= (\ x -> [x, -x])
= {- by definition of (>>=) for [] -}
  concat [       (3*3)         &   (\ x -> [x, -x])  -- x & f == f x
         ,       (3*2)         &   (\ x -> [x, -x]) 
         ]
= {- by definition of concat -}
                 (3*3)         &   (\ x -> [x, -x])
         ++      (3*2)         &   (\ x -> [x, -x]) 
= 
  [9, -9, 6, -6]

（edit）有关图片以及对这些Kleisli 箭头 及其可组合性的更多讨论，请参阅this older answer of mine。