检测矩形棱镜的重叠

Question

给定一个 3D 坐标系和具有非负起点和非负尺寸的直角棱镜（例如，从 (0, 2, 5) 开始，尺寸为 (9, 20, 5)）：我怎样才能最好地检查另一个直角棱镜与坐标系中已有的棱镜之一相交？最终，目标是对所有存在的棱镜执行此检查，能够测试一个应该足以完成此任务。

信息：起点和大小是非负长的三元组。我正在寻找一种速度适中的优雅解决方案。

我的项目是java，但任何数学公式、伪代码或描述都绰绰有余。

Answer 1

适用于大型数据集的良好算法方法

将您的棱镜存储在R-Tree 中。对于矩形同轴棱镜，搜索和插入的顺序应该是log(n)。

有一些用于 R-Trees 的 Python 包。使用Rtree 0.6.0，您的代码将非常简单：

>>> from rtree import Rtree
>>> idx = Rtree()
>>> minx, miny, maxx, maxy = (0.0, 0.0, 1.0, 1.0)
>>> idx.add(0, (minx, miny, maxx, maxy))
>>> list(idx.intersection((1.0, 1.0, 2.0, 2.0)))
[0L]
>>> list(idx.intersection((1.0000001, 1.0000001, 2.0, 2.0)))
[]

实用而快速的方法

将您的数据存储在sqlite 数据库中，可以使用很少的代码行在文件或内存中创建该数据库（有many java implementations）。创建名为prisms 的表，其列将是id、min_x、min_y、min_z、max_x、max_y、max_z。索引每一行。

插入是O(1)，检查交叉点遵循Magnus Skog's approach，给定new_min_x, new_min_y, new_min_z, new_max_x, new_max_y, new_max_z：

SELECT COUNT(*) FROM prisms
   WHERE (new_min_x BETWEEN min_x and max_x OR new_max_x BETWEEN min_x and max_x)
   AND   (new_min_y BETWEEN min_y and max_y OR new_max_y BETWEEN min_y and max_y)
   AND   (new_min_z BETWEEN min_z and max_z OR new_max_z BETWEEN min_z and max_z)

Answer 2

假设您有两个棱镜 A 和 B。如果 B 与 A 相交，则否定不完全向右、向左、向上、向下等。

if not (B.x > A.x+A.dx or B.x+B.dx < A.x or
        B.y > A.y+A.dy or B.y+B.dy < A.y or
        B.z > A.z+A.dz or B.z+B.dz < A.z)
        // B intersects A

Answer 3

从(0, 2, 5) 开始，大小为(9, 20, 5) 的棱镜在(9, 22, 10) 结束。

要检查重叠的棱镜（A 和 B），请使用它们的起点和终点。两个棱镜必须在所有维度上重叠。

要检查 X 维度的重叠，请使用：

If (A.startX <= B.endX) and (B.startX <= A.endX) 

因此：

If 
      (A.startX <= B.endX) and (B.startX <= A.endX) 
  and (A.startY <= B.endY) and (B.startY <= A.endY) 
  and (A.startZ <= B.endZ) and (B.startZ <= A.endZ) 
Then
    (A and B overlap)

当两个棱镜只有一个共同点时，上述检查将产生True。如果您不希望这样，并且您希望重叠空间不仅仅是一个点或一条线段或一个矩形表面，而是一个棱柱，那么将 <= 替换为 < 。

Answer 4

与检查线段的方法相同。如果 B 的开头或结尾在 A 的开头和结尾之间，则它们重叠。

唯一的区别是它们必须在所有三个维度上重叠。