我有一个 3D 点 (point_x,point_y,point_z)，我想将它投影到 3D 空间中的 2D 平面上，该平面由点坐标 (orig_x,orig_y,orig_z) 和一元垂线定义向量 (normal_dx,normal_dy,normal_dz)。
我该如何处理？
【问题讨论】：
1) 从您的orig 点创建一个向量到兴趣点：
v = point-orig (in each dimension);
2) 取该向量与单位法向量n的点积：
dist = vx*nx + vy*ny + vz*nz; dist = 点到平面沿法线的标量距离
3) 将单位法线向量乘以距离，然后从您的点中减去该向量。
projected_point = point - dist*normal;
用图片编辑：
我稍微修改了你的图片。红色是v； v dot normal = 蓝色和绿色的长度（dist 以上）。蓝色是normal*dist。 Green = blue * -1 ：要找到plane_xyz，从point 开始并添加绿色向量。
【讨论】：
d 以获得从点到平面的垂直距离，否则您假设平面通过原点。
这真的很简单，你要做的就是找到从点P到平面的垂直距离（这里缩写|_），然后平移 P 返回垂直距离平面法线方向。结果是翻译后的P 坐在飞机上。
举个简单的例子（我们可以通过检查来验证）：
设置 n=(0,1,0)，P=(10,20,-5)。
投影点应为 (10,10,-5)。通过检查可以看到，Pproj 与平面垂直 10 个单位，如果它在平面内，则 y=10。
那么我们如何通过分析找到它呢？
平面方程为Ax+By+Cz+d=0。这个等式的意思是“为了使点 (x,y,z) 在平面内，它必须满足 Ax+By+Cz+d=0”。
上面绘制的平面的 Ax+By+Cz+d=0 方程是什么？
平面的法线 n=(0,1,0)。只需使用一个测试点已经在平面中找到 d：
(0)x + (1)y + (0)z + d = 0
点 (0,10,0) 在平面内。代入上面，我们发现，d=-10。那么平面方程为 0x + 1y + 0z - 10 = 0（如果简化，则得到 y=10）。
d 的一个很好的解释是它谈到了您需要沿其法线平移平面以使平面通过原点的垂直距离。
无论如何，一旦我们有了d，我们可以通过以下等式找到any 点到平面的|_ 距离：
|_ 到平面的距离有 3 类可能的结果：
不管怎样，
您可以通过上图中的检查来验证其是否正确
【讨论】：
此答案是对两个现有答案的补充。 我的目标是展示@tmpearce 和@bobobobo 的解释如何归结为同一件事，同时为那些只想复制最适合他们情况的方程式的人提供快速答案。
@tmpearce 在回答中解释了这种方法。
给定一个平面的点法线定义，平面上有法线n和平面上的点o，一个点p'，是平面上最靠近给定点 p 的点，可以通过以下方式找到：
1) p' = p - (n ⋅ (p - o强>)) * n
@bobobobo 在回答中解释了这种方法。
给定一个由普通 n 和标量 d 定义的平面，一个点 p' 是平面上最靠近给定的点点 p，可以通过以下方式找到：
2) p' = p - (n ⋅ p + d) * n
如果你有一个平面的点法线定义（平面由法线n和点o定义飞机）@bobobobo 建议找到 d:
3) d = -n ⋅ o
并将其代入等式 2。得到：
4) p' = p - (n ⋅ p - n ⋅ o) * n
仔细看看方程 1 和 4。通过比较它们，你会发现方程 1 使用 n ⋅ (p - o) 其中等式 2 使用 n ⋅ p - n ⋅ o。这实际上是写同一件事的两种方式：
5) n ⋅ (p - o) = n ⋅ p - n ⋅ o = n ⋅ p + d
因此可以选择将标量 d 解释为好像它是“预计算”。我解释一下：如果一个飞机的n和o已知，而o只用于计算n ⋅ (p - o), 我们不妨用 n 和 d 定义平面并计算 n ⋅ p + d 相反，因为我们刚刚看到这是同一件事。
另外对于使用d进行编程还有两个好处：
【讨论】：
仅提供平面原点和法向量是不够的。这确实定义了 3d 平面，但是这并没有定义平面上的坐标系。
认为您可以围绕法线向量相对于其原点旋转您的平面（即将法线向量放在原点并“旋转”）。
但是，您可能会找到投影点到原点的距离（这显然与旋转无关）。
从 3d 点减去原点。然后用法线方向做叉积。如果您的法线向量被归一化 - 结果向量的长度等于所需的值。
编辑
完整的答案需要一个额外的参数。比如说，您还提供了表示平面上 x 轴的向量。 所以我们有向量 n 和 x。假设它们是标准化的。
原点用O表示，你的3D点是p。
那么你的观点是通过以下方式预测的：
x = (p - O) 点 x
y = (p - O) 点 (n 交叉 x)
【讨论】：
令 V = (orig_x,orig_y,orig_z) - (point_x,point_y,point_z)
N = (normal_dx,normal_dy,normal_dz)
令 d = V.dotproduct(N);
投影点 P = V + d.N
【讨论】：
d.N 是点积还是叉积？
我认为你应该稍微改变一下描述飞机的方式。实际上，描述平面的最佳方式是通过向量 n 和标量 c
(x, n) = c
常数c的（绝对值）是平面到原点的距离，等于(P,n)，其中 P 是平面上的任意一点。
所以，让 P 成为您的 原点，而 A' 成为新点 A 的投影上飞机。你需要做的是找到 a 使得 A' = A - a*n 满足方程飞机，也就是
(A - a*n, n) = (P, n强>)
求解a，你会发现
a = (A, n) - (P, n) = (A , n) - c
给了
A' = A - [(A, n) - c]n
使用你的名字，这就是
c = orig_x*normal_dx + orig_y*normal_dy+orig_z*normal_dz;
a = point_x*normal_dx + point_y*normal_dy + point_z*normal_dz - c;
planar_x = point_x - a*normal_dx;
planar_y = point_y - a*normal_dy;
planar_z = point_z - a*normal_dz;
注意：如果您存储 c=(P, 而不是 orig 点 P，您的代码将保存一个标量产品n），这意味着每次投影的失败次数基本上减少了 25%（以防此例程在您的代码中多次使用）。
【讨论】：
令 r 为投影点，p 为投影结果。令 c 为平面上的任意点，令 n 为平面的法线（不一定是标准化的）。为一些标量 m 写 p = r + m d，如果它们没有解，则将被视为不确定。 由于 (p - c).n = 0，因为平面上的所有点都满足这一限制，因此具有 (r - c).n + m(d . n) = 0 等 m = [(c - r).n]/[d.n] 点在哪里使用产品 (.)。但如果 d.n = 0 则无解。例如，如果 d 和 n 相互垂直，则没有可用的解决方案。
【讨论】：