确定 n 是否是具有整数边的三角形的斜边答案

【问题标题】：Determine whether n is the hypotenuse of a triangle having integral sides确定 n 是否是具有整数边的三角形的斜边
【发布时间】：2015-10-04 15:44:30
【问题描述】：

我的算法和在可能重复中找到的算法是O(n)，对于要求来说太慢了。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

Euclid's formula 告诉我们每个毕达哥拉斯三元组 (a, b, c) 都是由整数 k, n,m 组成的，其中 m>n

a=k*(m^2-n^2)
b=2*k*m*n
c=k*(m^2+n^2)

如果 C 可以表示为整数 k 与两个不相等整数平方和的乘积，则 C 是某个具有整数边的直角三角形的斜边。我们可以找到 C 的质因数并检查至少一个因数是 4*p+1 形式的Pythagorean prime。它需要 O(Sqrt(C)) 时间

【讨论】：

实际上，如文章中所述，该公式不会生成所有可能的毕达哥拉斯三元组。但是，如果您首先从 a, b, c 中删除任何公因数，这样它们就可以互质了。
@RBarryYoung 你是对的，我认为这个事实对于反向问题是无关紧要的，但我错了。已更正。
为什么需要O(sqrt(C)) 时间？如果4*p+1 形式的一个素数大于sqrt(C) 怎么办？我知道我可以检查n/i 的形式是否为4*p+1，但是n=5 的情况呢？在这种情况下，我将不得不迭代到n，所以它看起来像O(n)。
@Anukul Sangwan 您需要大约 Sqrt(C) 时间来使用最简单的试除法获得所有主要因素，并使用更复杂的分解方法获得更好的时间。请注意，如果存在大素数，它将在 Sqrt(C) 达到 111-> 除以 3 -> 得到 37 之前计算

【解决方案2】：

正如@MBo 已经建议的那样，我们只需要检查 n 是否具有 4k+1 形式的质因数。这可以通过计算 n 的素数分解在 O(sqrt(n)) 时间内完成。

但是，如果您需要对上述范围内的所有值执行此操作，则可以使用 sieve 计算所有 4k+1 形式的素数。然后将这些素数的所有倍数（在 [1..5*10**6] 范围内）标记为有效斜边。

该算法将在大约 O(N log N log log N)（筛子）+ 与第二部分的筛子大致相同的时间内为所有输入计算此布尔函数？形式分析将取决于 4k+1 形式的素数分布。我不确定这样的分析是如何完成的。

而因式分解需要 O(N sqrt N) 时间。

【讨论】：