以图为输入的算法的多项式与伪多项式复杂度

Question

在以图形作为输入分析算法的复杂性时，我很难区分多项式运行时和伪多项式运行时。

该图有 |A|弧线和 |V|顶点。该算法的复杂度为 O(|A|*K^2)，其中 K 是某个常数。

复杂度是多项式还是伪多项式？又取决于图是指定为邻接表还是邻接矩阵？

Answer 1

简答：对于邻接列表，该算法绝对是多项式（因此是伪多项式），对于邻接矩阵，它取决于图形的“密集”程度。

首先，伪多项式或基于多项式的定义是什么？

要制定算法，我们需要某种方法将输入编码为机器可读的形式。在最理论的版本中，这意味着作为图灵机的输入。如果我们有一个带有n 顶点和m 边的图，我们可以编写以下表示（类似于边列表）：

n#u1,v1#u2,v2#...#um,vm

其中ui 是起始顶点的编号，vi 是i-th 边的结束顶点的编号。

如果我们使用数字的二进制表示（即数字k 占用 O(log k) 空间），那么我们的整个图可以表示为长度为 L = O(log n * m )

如果我们使用一元表示，我们的输入词的长度为 L = O(n * m)。

多项式（或伪多项式）意味着如果我们的输入数字表示为二进制（或一元）数字，您的算法最多需要 O(L^k) 时间来处理某个固定的 k。

回到你的问题

您的算法的运行时间为 O(m)（常量可以在 Big-O 表示法中省略），对于邻接列表（使用 O(log n * m) 空间），这绝对是多项式（k = 1） .

对于邻接矩阵（使用 O(n²) 空间），这仅适用于我们在边数上有一些渐近下界的情况下，但如果我们至少有 Ω(n) 边（例如，如果图已连接）。